रीमैन ज़ेटा फंक्शन, प्राइम नंबरों की जांच के लिए नंबर थ्योरी में उपयोगी फंक्शन। As (x) के रूप में लिखा गया, इसे मूल रूप से अनंत श्रृंखला (x) = 1 + 2 −x + 3 + x + 4 + x + ⋯ के रूप में परिभाषित किया गया था । जब x = 1, इस श्रृंखला को हार्मोनिक श्रृंखला कहा जाता है, जो बिना किसी सीमा के बढ़ जाती है - यानी, इसका योग अनंत है। 1 से बड़े x के मानों के लिए, श्रृंखला एक परिमित संख्या में परिवर्तित हो जाती है क्योंकि क्रमिक शब्द जोड़े जाते हैं। यदि x 1 से कम है, तो योग फिर से अनंत है। जीटा फ़ंक्शन को 1737 में स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर के नाम से जाना जाता था, लेकिन जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन द्वारा इसका सबसे पहले अध्ययन किया गया था।
1859 में रीमैन ने एक पेपर प्रकाशित किया, जिसमें किसी भी सीमित सीमा तक के अपराधों की संख्या के लिए एक स्पष्ट फॉर्मूला था- प्राइम नंबर प्रमेय द्वारा दिए गए अनुमानित मूल्य पर एक निश्चित सुधार। हालाँकि, रीमैन का सूत्र उन मूल्यों को जानने पर निर्भर करता है जिन पर जीटा फ़ंक्शन का सामान्यीकृत संस्करण शून्य के बराबर होता है। (रिमैन ज़ेटा फ़ंक्शन को सभी जटिल संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है - फॉर्म x + iy की संख्या, जहाँ i = वर्गमूल − √ 1 है - लाइन x = 1. को छोड़कर) रिमान को पता था कि फ़ंक्शन सभी नकारात्मक के लिए शून्य के बराबर है। पूर्णांक,2, −4,,6, ।
(तथाकथित तुच्छ शून्य), और यह कि लाइनों x = 0 और x = 1 के बीच जटिल संख्याओं की महत्वपूर्ण पट्टी में अनंत संख्या में शून्य है, और वह यह भी जानता था कि सभी nontrivial शून्य महत्वपूर्ण के संबंध में सममित हैं लाइन एक्स = 1 / 2 । रीमैन ने अनुमान लगाया कि सभी nontrivial शून्य महत्वपूर्ण रेखा पर हैं, एक अनुमान है कि बाद में Riemann परिकल्पना के रूप में जाना जाता है।
1900 में जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने रीमैन परिकल्पना को गणित के सभी में सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों में से एक कहा, जैसा कि 23 अनसुलझी समस्याओं की उनकी प्रभावशाली सूची में इसके शामिल होने से संकेत मिलता है जिसके साथ उन्होंने 20 वीं सदी के गणितज्ञों को चुनौती दी थी। 1915 में अंग्रेजी के गणितज्ञ गॉडफ्रे हार्डी ने साबित किया कि महत्वपूर्ण रेखा पर अनंत संख्या में शून्य होते हैं, और 1986 तक पहले 1,500,000,001 nontrivial शून्य सभी को महत्वपूर्ण रेखा पर दिखाया गया था। यद्यपि परिकल्पना अभी तक झूठी हो सकती है, इस कठिन समस्या की जांच ने जटिल संख्याओं की समझ को समृद्ध किया है।
