यूक्लिड की विंडमिल

पाइथागोरस प्रमेय में कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज के पैरों पर वर्गों का योग कर्ण (दाहिने कोण के विपरीत भुजा) पर वर्ग के बराबर होता है -जबकि बीजीय संकेतन, एक ² + b ^{2 /} c ² । बेबीलोनियों और मिस्रियों ने संबंध को संतुष्ट करते हुए कुछ पूर्णांक त्रिक (ए, बी, सी) पाए थे। पाइथागोरस (सी। 580- c। 500 ई.पू.) या उनके अनुयायियों में से कोई भी पहला प्रमेय साबित हो सकता है जो उनके नाम को धारण करता है। यूक्लिड (c। 300 ई.पू.) ने अपने तत्वों में पाइथोगोरियन प्रमेय के एक चतुर प्रदर्शन की पेशकश की, जिसे आकृति के आकार से विंडमिल सबूत के रूप में जाना जाता है।

सही ΔABC के किनारों पर वर्ग बनाएं।
BCH और ACK सीधी रेखाएं हैं क्योंकि andACB = 90 °।
निर्माण द्वारा,EAB = AICAI = 90 °।
∠BAI = ∠BAC + =CAI = +BAC + IEAB = 3EAC, 3 से।
एसी = एआई और एबी = एई, निर्माण द्वारा।
इसलिए,,BAI ≅ ΔEAC, साइड-एंगल-साइड प्रमेय द्वारा (देखें साइडबार: ब्रिज ऑफ एसेस), जैसा कि आंकड़े के भाग (ए) में दिखाया गया है।
बीडी के समानांतर सीएफ ड्रा करें।
आयत AGFE = 2ΔACE। यह उल्लेखनीय परिणाम दो प्रारंभिक प्रमेयों से निकलता है: (ए) एक ही आधार पर सभी त्रिभुजों के क्षेत्र, जिनका तीसरा शीर्ष आधार के समानांतर एक अनिश्चित रूप से विस्तारित रेखा पर कहीं भी स्थित है, समान हैं; और (b) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल समान आधार और ऊंचाई के साथ किसी भी समांतर चतुर्भुज (किसी भी आयत सहित) का आधा है।
स्क्वेयर AIHC = 2 AIBAI, चरण 8 में समान समांतर चतुर्भुज द्वारा।
इसलिए, आयत AGFE = वर्ग AIHC, चरण 6, 8 और 9 द्वारा।
4DBC = JABJ, चरण 3 और 4 में।
बीसी = बीजे और बीडी = एबी, निर्माण के रूप में चरण 5 में।
ΔCBD Δ BAJBA, चरण 6 में और आकृति के भाग (b) में हाइलाइट किया गया।
आयत BDFG = 2ΔCBD, चरण 8 में।
स्क्वायर CKJB = 2ΔJBA, जैसा कि चरण 9 में है।
इसलिए, चरण 10 में आयत BDFG = वर्ग CKJB।
वर्ग ABDE = आयत AGFE + आयत BDFG, निर्माण द्वारा।
इसलिए, वर्ग ABDE = वर्ग AIHC + वर्ग CKJB, चरण 10 और 16 द्वारा।

यूक्लिड के तत्वों की पहली पुस्तक एक बिंदु की परिभाषा के साथ शुरू होती है और पाइथोगोरियन प्रमेय और इसके आक्षेप के साथ समाप्त होती है (यदि एक त्रिकोण के दो तरफ वर्गों का योग तीसरी तरफ वर्ग के बराबर होता है, तो यह एक सही त्रिकोण होना चाहिए) । विशेष परिभाषा से सार और सार्वभौमिक गणितीय कथन तक की इस यात्रा को सभ्य जीवन के विकास के प्रतीक के रूप में लिया गया है। विचार की उच्चतम अभिव्यक्ति के साथ यूक्लिड के तर्क की पहचान का एक उल्लेखनीय उदाहरण 1821 में एक जर्मन भौतिक विज्ञानी और खगोलविद द्वारा मंगल के निवासियों के साथ बातचीत करने के लिए बौद्धिक परिपक्वता के लिए हमारे दावे को दिखाते हुए बनाया गया प्रस्ताव था। हम सभी को उनकी रुचि और अनुमोदन को आकर्षित करने के लिए ऐसा करने की आवश्यकता थी, यह दावा किया गया था, साइबेरिया या सहारा में पायथागॉरियन प्रमेय के नहरों को खोदने के लिए, पवनचक्की आरेख के आकार में बड़े क्षेत्रों को हल करने और रोपण करने के लिए था। उन्हें तेल से भर दें, उन्हें आग लगा दें, और प्रतिक्रिया की प्रतीक्षा करें। प्रयोग की कोशिश नहीं की गई है, यह देखते हुए कि मंगल के निवासियों के पास कोई दूरबीन नहीं है, कोई ज्यामिति नहीं है, या कोई अस्तित्व नहीं है।