अंकगणित

अंकगणित, गणित की वह शाखा जिसमें संख्याओं, संख्याओं के बीच संबंध, और संख्याओं पर टिप्पणियों का अध्ययन किया जाता है और समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अंकगणित (ग्रीक शब्द arithmos, "संख्या" से लिया गया एक शब्द) आम तौर पर संख्याओं के सिद्धांत के प्रारंभिक पहलुओं, मापांक की कला (माप), और संख्यात्मक अभिकलन (अर्थात, जोड़, घटाव, गुणा की प्रक्रियाएं) को संदर्भित करता है। विभाजन, शक्तियों को बढ़ाने, और जड़ों की निकासी)। हालांकि, इसका अर्थ गणितीय उपयोग में समान नहीं रहा है। एक प्रख्यात जर्मन गणितज्ञ, कार्ल फ्रेडरिक गॉस, डिसकविज़न एरीथमेटिका (1801) में, और कुछ आधुनिक दिन के गणितज्ञों ने अधिक उन्नत विषयों को शामिल करने के लिए इस शब्द का उपयोग किया है। उत्तरार्द्ध में रुचि रखने वाले पाठक को लेख संख्या सिद्धांत के लिए संदर्भित किया जाता है।

मौलिक परिभाषाएँ और कानून

प्राकृतिक संख्याएं

वस्तुओं (या तत्वों) के एक संग्रह (या सेट) में, मौजूद वस्तुओं की संख्या निर्धारित करने के कार्य को गिनती कहा जाता है। इस प्रकार प्राप्त संख्याओं को गिनती संख्या या प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3,) कहा जाता है।

।)। एक खाली सेट के लिए, कोई भी वस्तु मौजूद नहीं है, और संख्या 0 की पैदावार करती है, जो कि प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ी होती है, जो पूरे संख्याओं के रूप में जानी जाती है।

यदि दो सेटों से वस्तुओं का मिलान इस तरह किया जा सकता है कि प्रत्येक सेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे सेट से एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है, तो सेट को समान या समकक्ष कहा जाता है। समकक्ष सेट की अवधारणा आधुनिक गणित की नींव के लिए बुनियादी है और प्राथमिक शिक्षा में पेश की गई है, विशेष रूप से "नई गणित" (आंकड़ा देखें) के हिस्से के रूप में जो 1960 के दशक में दिखाई देने के बाद से वैकल्पिक रूप से प्रशंसित और कम हो गई है। सेट सिद्धांत देखें।

जोड़ और गुणा

वस्तुओं के दो सेटों को एक साथ मिलाकर, जिसमें ए और बी तत्व होते हैं, एक नया सेट बनता है जिसमें एक + बी = सी ऑब्जेक्ट होता है। संख्या c को a और b का योग कहा जाता है; और बाद के प्रत्येक को एक सारांश कहा जाता है। योग बनाने के संचालन को जोड़ कहा जाता है, प्रतीक + को "प्लस" के रूप में पढ़ा जा रहा है। यह सबसे सरल बाइनरी ऑपरेशन है, जहां बाइनरी दो वस्तुओं के संयोजन की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।

मतगणना की परिभाषा से यह स्पष्ट होता है कि समन के क्रम को बदला जा सकता है और योग को प्रभावित किए बिना, तीन योगों पर लागू होने पर जोड़ के संचालन के क्रम को बदला जा सकता है। इन्हें क्रमशः परिवर्धन का नियम और जोड़ का साहचर्य नियम कहा जाता है।

यदि कोई प्राकृतिक संख्या k मौजूद है जैसे कि a = b + k, तो यह कहा जाता है कि a, b से अधिक है (a> b लिखा है) और b, a (लिखित b <a) से कम है। यदि a और b कोई दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो यह मामला है कि a = b या a> b या <b (the trichotomy law)।

उपरोक्त कानूनों से, यह स्पष्ट है कि 5 + 5 + 5 के रूप में एक दोहराया राशि उस तरह से स्वतंत्र है जिसमें सम्मन को समूहीकृत किया गया है; इसे 3 × 5 लिखा जा सकता है। इस प्रकार, गुणा नामक एक दूसरे बाइनरी ऑपरेशन को परिभाषित किया गया है। संख्या 5 को गुणक कहा जाता है; संख्या 3, जो सारांश की संख्या को दर्शाता है, गुणक कहा जाता है; और परिणाम 3 × 5 को उत्पाद कहा जाता है। इस ऑपरेशन का प्रतीक × "समय" पढ़ा जाता है। यदि संख्याओं को निरूपित करने के लिए a और b जैसे अक्षरों का उपयोग किया जाता है, तो उत्पाद a × b को अक्सर or b या बस ab लिखा जाता है।

यदि पाँच बिंदुओं की तीन पंक्तियाँ लिखी जाएँ, जैसा कि नीचे दिया गया है, यह स्पष्ट है कि सरणी में डॉट्स की कुल संख्या 3 × 5, या 15. है। डॉट्स की यह समान संख्या तीन डॉट्स की पाँच पंक्तियों में स्पष्ट रूप से लिखी जा सकती है, जहाँ 5 × 3 = 15. तर्क सामान्य है, अग्रणी कानून के लिए कि गुणकों के क्रम उत्पाद को प्रभावित नहीं करते हैं, गुणन के सराहनीय नियम कहलाते हैं। लेकिन यह उल्लेखनीय है कि यह कानून सभी गणितीय संस्थाओं पर लागू नहीं होता है। वास्तव में, आधुनिक भौतिकी के अधिकांश गणितीय सूत्रीकरण, उदाहरण के लिए, इस तथ्य पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है कि कुछ संस्थाएं हंगामा नहीं करती हैं।

डॉट्स के त्रि-आयामी सरणी के उपयोग से, यह स्पष्ट हो जाता है कि तीन संख्याओं पर लागू होने पर गुणन का क्रम उत्पाद को प्रभावित नहीं करता है। इस तरह के कानून को गुणा का साहचर्य कानून कहा जाता है। अगर ऊपर लिखे 15 डॉट्स को दो सेटों में अलग किया जाए, जैसा कि दिखाया गया है, फिर पहले सेट में तीन डॉट्स के तीन कॉलम होते हैं, या 3 × 3 डॉट्स होते हैं; दूसरे सेट में तीन डॉट्स के दो कॉलम होते हैं, या 2 × 3 डॉट्स; योग (3 × 3) + (2 × 3) में तीन बिंदुओं के 3 + 2 = 5 स्तंभ होते हैं, या (3 + 2) × 3 बिंदु होते हैं। सामान्य तौर पर, कोई यह साबित कर सकता है कि किसी संख्या के योग का गुणन दो उचित उत्पादों के योग के समान है। इस तरह के कानून को वितरण कानून कहा जाता है।

पूर्णांकों

घटाव को सरल कारण के लिए पेश नहीं किया गया है कि इसे जोड़ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार, अंतर a - b दो संख्या a और b को समीकरण b + x = a के समाधान x के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि एक संख्या प्रणाली प्राकृतिक संख्याओं तक सीमित है, तो अंतर हमेशा मौजूद नहीं होते हैं, लेकिन, यदि वे करते हैं, तो अंकगणित के पांच बुनियादी कानूनों, जैसा कि पहले से ही चर्चा की गई है, का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि वे अद्वितीय हैं। इसके अलावा, मतभेदों को लागू करने के लिए जोड़ और गुणा के संचालन के कानूनों को बढ़ाया जा सकता है। पूरे नंबर (शून्य सहित) को 1 + x = 0 के समाधान को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, अर्थात, संख्या well1, साथ ही फॉर्म के सभी उत्पाद n1 × n, जिसमें n एक पूर्ण संख्या है। संख्याओं के विस्तारित संग्रह को पूर्णांक कहा जाता है, जिनमें से सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के समान होते हैं। इस तरह पेश किए गए नंबरों को नकारात्मक पूर्णांक कहा जाता है।