विश्लेषण का इतिहास
यूनानियों ने निरंतर परिमाण का सामना किया
विश्लेषण में गणित के वे भाग शामिल हैं जिनमें निरंतर परिवर्तन महत्वपूर्ण है। इनमें गति और चिकनी घटता और सतहों की ज्यामिति का अध्ययन शामिल है - विशेष रूप से, स्पर्शरेखा, क्षेत्रों और संस्करणों की गणना। प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों ने विश्लेषण के सिद्धांत और व्यवहार दोनों में बहुत प्रगति की। सिद्धांतिक परिमाणों के पाइथागोरस की खोज के बारे में 500 बिस के बारे में और ज़ेनो की गति के विरोधाभास द्वारा लगभग 450 बीसी द्वारा उन्हें थ्योरी मजबूर किया गया था।
पाइथागोरस और अपरिमेय संख्या
प्रारंभ में, पाइथागोरस का मानना था कि सभी चीजों को असतत प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3,) द्वारा मापा जा सकता है।
।) और उनके अनुपात (साधारण अंश, या परिमेय संख्या)। यह विश्वास हिल गया था, हालांकि, इस खोज से कि एक इकाई वर्ग का विकर्ण (यानी, एक वर्ग जिसकी भुजाओं की लंबाई 1 है) को तर्कसंगत संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इस खोज को उनके अपने पाइथागोरस प्रमेय द्वारा लाया गया, जिसने स्थापित किया कि एक सही त्रिभुज के कर्ण पर वर्ग अन्य दो पक्षों पर वर्गों के योग के बराबर है - आधुनिक संकेतन में, c 2 = a 2 + 2 । एक इकाई वर्ग में, विकर्ण एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसमें भुजाएं = a = b = 1 हैं; इसलिए, इसका माप वर्गमूल है —2- एक अपरिमेय संख्या। अपने स्वयं के इरादों के खिलाफ, पाइथागोरस ने दिखाया था कि तर्कसंगत संख्याएं सरल ज्यामितीय वस्तुओं को मापने के लिए भी पर्याप्त नहीं थीं। (देखें साइडबार: Incommensurables।) उनकी प्रतिक्रिया लाइन सेगमेंट के एक अंकगणित बनाने के लिए थी, जैसा कि यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक II (सी। 300 bce) में पाया गया था, जिसमें तर्कसंगत संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या शामिल थी। यूनानियों के लिए, लाइन सेगमेंट संख्या की तुलना में अधिक सामान्य थे, क्योंकि उनमें निरंतर और असतत परिमाण शामिल थे।
वास्तव में, r2 का वर्गमूल केवल एक अनंत प्रक्रिया के माध्यम से परिमेय संख्याओं से संबंधित हो सकता है। यह यूक्लिड द्वारा महसूस किया गया था, जिसने तर्कसंगत संख्याओं और रेखाखंडों दोनों के अंकगणित का अध्ययन किया था। उनके प्रसिद्ध यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म, जब प्राकृतिक संख्याओं की एक जोड़ी के लिए लागू किया जाता है, तो उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए कई सीमित चरणों की ओर जाता है। हालाँकि, जब एक वर्ग के जोड़े को एक अपरिमेय अनुपात, जैसे वर्गमूल of√2 और 1 के साथ लागू किया जाता है, तो यह समाप्त होने में विफल रहता है। यूक्लिड ने भी इस अपरिमेयता की संपत्ति का उपयोग तर्कहीनता की कसौटी के रूप में किया। इस प्रकार, अपरिमेयता ने उन्हें अनंत प्रक्रियाओं से निपटने के लिए मजबूर करके संख्या की ग्रीक अवधारणा को चुनौती दी।
ज़ेनो के विरोधाभास और गति की अवधारणा
जिस तरह स्क्वायर as2 यूनानियों की संख्या की अवधारणा के लिए एक चुनौती थी, उसी तरह ज़ेनो के विरोधाभास उनकी गति की अवधारणा के लिए एक चुनौती थे। अपने भौतिकी (सी। 350 bce) में, अरस्तू ने ज़ेनो के हवाले से कहा:
कोई गति नहीं है क्योंकि जो स्थानांतरित किया गया है वह अंत में आने से पहले मध्य [पाठ्यक्रम] तक पहुंचना चाहिए।
ज़ेनो के तर्कों को केवल अरस्तू के माध्यम से जाना जाता है, जिन्होंने उन्हें मुख्य रूप से उनका खंडन करने के लिए उद्धृत किया था। संभवतः, ज़ेनो का मतलब था कि, कहीं भी जाने के लिए, पहले आधे रास्ते पर जाना चाहिए और इससे पहले एक-चौथाई रास्ते से पहले और एक-आठवें रास्ते से और इतने पर। क्योंकि दूरी को कम करने की यह प्रक्रिया अनन्तता में चली जाएगी (एक अवधारणा जिसे यूनानी संभव के रूप में स्वीकार नहीं करेंगे), ज़ेनो ने "साबित" करने का दावा किया कि वास्तविकता में परिवर्तनहीन होते हैं। फिर भी, अनंत के अपने घृणा के बावजूद, यूनानियों ने पाया कि अवधारणा निरंतर परिमाण के गणित में अपरिहार्य थी। इसलिए उन्होंने अनंतता के बारे में तर्क के रूप में संभव के रूप में तर्क के सिद्धांत और अनुपात का उपयोग करते हुए एक तार्किक ढांचे में कहा।
यूडोक्सस द्वारा अनुपात का सिद्धांत लगभग 350 बीसी बनाया गया था और यूक्लिड के तत्वों की बुक वी में संरक्षित किया गया था। इसने तर्कसंगत परिमाणों और मनमाने परिमाणों के बीच एक सटीक संबंध स्थापित किया, ताकि दो परिमाणों को परिभाषित किया जा सके यदि तर्कसंगत परिमाण उनसे कम थे। दूसरे शब्दों में, दो परिमाण अलग-अलग थे यदि उनके बीच कठोर परिमाण था। इस परिभाषा ने गणितज्ञों को दो सहस्राब्दियों तक सेवा प्रदान की और 19 वीं शताब्दी में विश्लेषण के अंकगणित का मार्ग प्रशस्त किया, जिसमें तर्कसंगत संख्याओं के संदर्भ में मनमाने ढंग से संख्याओं को परिभाषित किया गया था। अनुपात का सिद्धांत सीमाओं की अवधारणा का पहला कठोर उपचार था, एक ऐसा विचार जो आधुनिक विश्लेषण के मूल में है। आधुनिक शब्दों में, यूडोक्सस के सिद्धांत ने परिमाणात्मक परिमाणों को परिमेय परिमाणों की सीमा के रूप में परिभाषित किया, और योग, अंतर और गुणनफल के गुण के बारे में मूलभूत प्रमेय सीमा, योग और सीमा के उत्पाद के बारे में प्रमेय के बराबर थे।
