डायोफैंटस, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस, (उत्क्रमित सी। सी। 250), यूनानी गणितज्ञ, बीजगणित में अपने काम के लिए प्रसिद्ध।
संख्या सिद्धांत: डायोफैंटस
बाद के ग्रीक गणितज्ञों में, विशेष रूप से उल्लेखनीय है अलेक्जेंड्रिया का डियोफैंटस (उत्क्रमित सी। 250), लेखक।
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डायोफैंटस के जीवन में जो कुछ भी ज्ञात है वह परिस्थितिजन्य है। "अलेक्जेंड्रिया" की अपीलीयता से ऐसा लगता है कि उन्होंने प्राचीन ग्रीक दुनिया के मुख्य वैज्ञानिक केंद्र में काम किया था; और क्योंकि वह 4 वीं शताब्दी से पहले उल्लिखित नहीं है, इसलिए ऐसा लगता है कि वह तीसरी शताब्दी के दौरान फला-फूला। देर से पुरातनता के एन्थोलिया ग्रेका से एक अंकगणितीय एपिग्राम, जो अपने जीवन के कुछ स्थलों (33 पर शादी, 38 में अपने बेटे का जन्म, 84 साल की उम्र में अपने बेटे की मृत्यु से पहले 84) में पुन: प्राप्त करने के लिए अच्छी तरह से वंचित हो सकता है। उनके नाम के तहत दो काम हमारे सामने आए हैं, दोनों अधूरे हैं। पहला बहुभुज संख्याओं पर एक छोटा सा टुकड़ा है (एक संख्या बहुभुज है यदि उसी संख्या में डॉट्स को नियमित बहुभुज के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है)। दूसरा, एक बड़ा और बेहद प्रभावशाली ग्रंथ, जिस पर डायोफैंटस की सभी प्राचीन और आधुनिक ख्याति दोहराई जाती है, वह है उसका अंकगणित। इसका ऐतिहासिक महत्व दो गुना है: यह आधुनिक शैली में बीजगणित को नियोजित करने वाला पहला ज्ञात कार्य है, और इसने संख्या सिद्धांत के पुनर्जन्म को प्रेरित किया।
अरिथमेटिका की शुरुआत डियोनिसियस को संबोधित एक परिचय के साथ होती है - निश्चित रूप से अलेक्जेंड्रिया के सेंट डायोनिसियस से। संख्याओं के बारे में कुछ सामान्यताओं के बाद, डायोफैंटस अपने प्रतीकवाद की व्याख्या करता है - वह अज्ञात (हमारी एक्स के अनुरूप) और उसकी शक्तियों, सकारात्मक या नकारात्मक, साथ ही कुछ अंकगणितीय कार्यों के लिए प्रतीकों का उपयोग करता है - इनमें से अधिकांश प्रतीक स्पष्ट रूप से संक्षिप्त रूप से संक्षिप्त विवरण हैं। यह 15 वीं शताब्दी से पहले बीजीय प्रतीकवाद की पहली और एकमात्र घटना है। अज्ञात की शक्तियों के गुणन को सिखाने के बाद, डायोफैंटस सकारात्मक और नकारात्मक शब्दों के गुणन को समझाता है और फिर केवल सकारात्मक शब्दों (पुरातनता में पसंदीदा मानक रूप) के साथ एक समीकरण को कैसे कम किया जाए। इन पूर्वाग्रहों से बाहर निकलने के साथ, डायोफैंटस समस्याओं को आगे बढ़ाता है। वास्तव में, अरिथमेटिका मूल रूप से समाधान के साथ समस्याओं का एक संग्रह है, इस भाग में लगभग 260 अभी भी मौजूद हैं।
परिचय यह भी बताता है कि काम को 13 पुस्तकों में विभाजित किया गया है। इन पुस्तकों में से छह को यूरोप में 15 वीं शताब्दी के अंत में जाना जाता था, बीजान्टिन विद्वानों द्वारा ग्रीक में प्रसारित किया गया था और I से VI तक गिना गया था; 1968 में 9 वीं शताब्दी के अरबी अनुवाद में Qus ā ibn Lūqā द्वारा चार अन्य पुस्तकों की खोज की गई थी। हालाँकि, अरबी पाठ में गणितीय प्रतीकात्मकता का अभाव है, और यह बाद के ग्रीक कमेंट्री पर आधारित प्रतीत होता है — शायद हाइपिया की (सी। 370–415) —इसने डायोफैंटस के विस्तार को पतला कर दिया। अब हम जानते हैं कि ग्रीक पुस्तकों की संख्या को संशोधित किया जाना चाहिए: अरिथमेटिका में इस प्रकार पुस्तकें I से III तक ग्रीक में, पुस्तकें IV से VII में अरबी और, संभवतः किताबों में VIII से X में X (पूर्व ग्रीक पुस्तकें IV से VI तक) हैं)। इसके अलावा आगे बढ़ने की संभावना नहीं है; यह काफी हद तक निश्चित है कि बीजान्टिन केवल छह पुस्तकों को जानते थे जो उन्होंने प्रसारित कीं और अरबों ने टिप्पणी संस्करण में पुस्तकों I से VII से अधिक नहीं।
पुस्तक I की समस्याएँ कोई विशेषता नहीं हैं, ज्यादातर सरल समस्याएँ हैं जिनका उपयोग बीजगणितीय गणना के लिए किया जाता है। डायोफैंटस की समस्याओं की विशिष्ट विशेषताएं बाद की पुस्तकों में दिखाई देती हैं: वे अनिश्चित हैं (एक से अधिक समाधान वाले), दूसरी डिग्री के हैं या दूसरी डिग्री के लिए reducible हैं (चर शर्तों पर उच्चतम शक्ति 2 है, अर्थात, x 2), और अज्ञात के लिए एक सकारात्मक तर्कसंगत मूल्य के निर्धारण के साथ समाप्त होता है जो किसी दिए गए बीजीय अभिव्यक्ति को एक संख्यात्मक वर्ग या कभी-कभी एक क्यूब बना देगा। (अपनी पुस्तक के दौरान, डिपोन्थस "संख्या" का उपयोग करता है, जिसे अब सकारात्मक, तर्कसंगत संख्याएं कहा जाता है, इस प्रकार संदर्भित करने के लिए; एक वर्ग संख्या कुछ सकारात्मक, तर्कसंगत संख्या का वर्ग है।) पुस्तकें II और III सामान्य तरीके भी सिखाती हैं। पुस्तक II की तीन समस्याओं में यह बताया गया है कि प्रतिनिधित्व कैसे किया जाए: (1) किसी भी वर्ग संख्या को दो परिमेय संख्याओं के वर्ग के योग के रूप में; (2) किसी भी गैर-वर्ग संख्या, जो दो ज्ञात वर्गों का योग है, दो अन्य वर्गों के योग के रूप में; और (3) दो वर्गों के अंतर के रूप में किसी भी दिए गए परिमेय संख्या। जबकि पहली और तीसरी समस्याओं को आम तौर पर कहा जाता है, दूसरी समस्या में एक समाधान का अनुमान ज्ञान बताता है कि प्रत्येक तर्कसंगत संख्या दो वर्गों का योग नहीं है। डायोफैंटस बाद में पूर्णांक के लिए स्थिति देता है: दी गई संख्या में किसी विषम शक्ति के लिए उठाए गए फॉर्म 4n + 3 का कोई मुख्य कारक नहीं होना चाहिए, जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है। इस तरह के उदाहरणों ने संख्या सिद्धांत के पुनर्जन्म को प्रेरित किया। यद्यपि डायोफैंटस आमतौर पर किसी समस्या का एक समाधान प्राप्त करने के लिए संतुष्ट होता है, वह कभी-कभी ऐसी समस्याओं का उल्लेख करता है जिनमें अनंत संख्या में समाधान मौजूद होते हैं।
Books IV to VII में डायोफैंटस बुनियादी तरीकों को बढ़ाता है जैसे कि ऊपर की डिग्री की समस्याओं को ऊपर उल्लिखित किया गया है जिसे पहले या दूसरे-डिग्री के द्विपद समीकरण तक कम किया जा सकता है। इन किताबों में कहा गया है कि उनका उद्देश्य पाठक को "अनुभव और कौशल" प्रदान करना है। हालांकि इस हालिया खोज ने डायोफैंटस के गणित के ज्ञान में वृद्धि नहीं की है, लेकिन यह उसकी शैक्षणिक क्षमता के मूल्यांकन को बदल देता है। पुस्तकें VIII और IX (संभवतः ग्रीक पुस्तकें IV और V) अधिक कठिन समस्याओं को हल करती हैं, भले ही मूल तरीके समान रहें। उदाहरण के लिए, एक समस्या में किसी दिए गए पूर्णांक को दो वर्गों के योग में विघटित करना शामिल है जो मनमाने ढंग से एक दूसरे के करीब हैं। इसी तरह की समस्या में दिए गए पूर्णांक को तीन वर्गों के योग में विघटित करना शामिल है; इसमें, डायोफैंटस फॉर्म 8 एन + 7 (फिर से, एन एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है) के पूर्णांक के असंभव मामले को बाहर करता है। बुक एक्स (संभवत: ग्रीक बुक VI) तर्कसंगत पक्षों के साथ समकोण त्रिभुजों से संबंधित है और विभिन्न विभिन्न स्थितियों के अधीन है।
अरिथमेटिका की तीन लापता पुस्तकों की सामग्री को परिचय से प्राप्त किया जा सकता है, जहां, यह कहने के बाद कि एक समस्या की कमी "यदि संभव हो तो" एक द्विपद समीकरण के साथ समाप्त होती है, डायोफैंटस कहते हैं कि वह "बाद में" मामले का इलाज करेगा एक ट्रिनोमियल समीकरण-जो एक वादा पूरा नहीं हुआ है।
यद्यपि उनके पास अपने निपटान में बीजीय उपकरण सीमित थे, डायोफैंटस ने कई प्रकार की समस्याओं को हल करने में कामयाबी हासिल की, और अरिथमेटिका ने अपने तरीकों को लागू करने के लिए अल-करजी (सी। 980–1030) जैसे अरबी गणितज्ञों को प्रेरित किया। डायोफैंटस के काम का सबसे प्रसिद्ध विस्तार पियरे डी फ़र्मेट (1601–65) द्वारा किया गया था, जो आधुनिक संख्या सिद्धांत के संस्थापक थे। अरिथमेटिका की अपनी प्रति के हाशिये में, फ़र्मेट ने विभिन्न टिप्पणियों को लिखा, नए समाधानों, सुधारों और डायोफैंटस के तरीकों के सामान्यीकरण का प्रस्ताव किया और साथ ही कुछ अनुमानों जैसे कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय, जो आने वाली पीढ़ियों के लिए गणितज्ञों पर कब्जा करते हैं। अभिन्न समाधानों तक ही सीमित अनिश्चित समीकरणों को, हालांकि अनुचित रूप से, डायोफैंटाइन समीकरणों के रूप में जाना जाता है।
