वेक्टर विश्लेषण, गणित की एक शाखा जो परिमाण और दिशा दोनों की मात्राओं से संबंधित है। कुछ भौतिक और ज्यामितीय मात्रा, जिन्हें स्केलर कहा जाता है, को माप की उपयुक्त इकाइयों में उनके परिमाण को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार, द्रव्यमान को ग्राम में, कुछ पैमाने पर तापमान में, और सेकंड में समय में व्यक्त किया जा सकता है। स्केलर को कुछ संख्यात्मक पैमाने पर अंक जैसे घड़ी या थर्मामीटर द्वारा रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है। वैक्टर भी कहलाते हैं, जिन्हें दिशा के विनिर्देश के साथ-साथ परिमाण की भी आवश्यकता होती है। वेग, बल और विस्थापन वैक्टर के उदाहरण हैं। एक वेक्टर मात्रा को एक निर्देशित रेखा खंड द्वारा रेखांकन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे वेक्टर मात्रा की दिशा में इंगित तीर द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें वेक्टर की परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाले खंड की लंबाई होती है।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति: वेक्टर विश्लेषण
किसी भी आयाम के यूक्लिडियन स्थान में, वैक्टर-निर्देशित रेखा खंड- निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। एन-ट्यूपल (ए 1, ।
वेक्टर बीजगणित।
वेक्टर का एक प्रोटोटाइप एक निर्देशित रेखा खंड एबी (चित्र 1 देखें) है जिसे एक कण के विस्थापन का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसकी प्रारंभिक स्थिति ए से एक नई स्थिति बी में सोचा जा सकता है। स्केटरों से वैक्टर को अलग करने के लिए यह वैक्टर को निरूपित करने के लिए प्रथागत है। बोल्डफेस पत्र। इस प्रकार चित्र 1 में वेक्टर AB को a और उसकी लंबाई (या परिमाण) के द्वारा निरूपित किया जा सकता है | a | कई समस्याओं में एक वेक्टर के प्रारंभिक बिंदु का स्थान स्थिर होता है, जिससे कि दो वैक्टर समान होते हैं यदि उनकी लंबाई और समान दिशा होती है।
दो वैक्टर a और b की समानता को सामान्य प्रतीकात्मक संकेतन a = b द्वारा निरूपित किया जाता है, और वैक्टर पर प्राथमिक बीजगणितीय संचालन की उपयोगी परिभाषाएं ज्यामिति द्वारा सुझाई जाती हैं। इस प्रकार, यदि AB = चित्र 1 में A, B से किसी कण के विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है और बाद में कण को एक स्थिति C में ले जाया जाता है, ताकि BC = b, यह स्पष्ट हो कि A से C तक का विस्थापन पूरा हो सकता है एक एकल विस्थापन एसी = सी। इस प्रकार, + b = c लिखना तर्कसंगत है। ए और बी के योग, सी, का निर्माण समानांतर चतुर्भुज कानून के समान परिणाम देता है जिसमें परिणामी सी को वैक्टर एबी और एडी पर पक्षों के रूप में निर्मित समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एसी द्वारा दिया जाता है। चूँकि वेक्टर BC = b के प्रारंभिक बिंदु B का स्थान अपरिवर्तित है, इसलिए यह BC = AD का अनुसरण करता है। चित्र 1 में दिखाया गया है कि AD + DC = AC, ताकि कम्यूटेटिव कानून
वेक्टर जोड़ के लिए रखती है। इसके अलावा, यह दिखाना आसान है कि साहचर्य कानून
मान्य है, और इसलिए (2) में कोष्ठक बिना किसी अस्पष्टता के छोड़ा जा सकता है।
यदि एक अदिश राशि है, तो सा या जैसा कि एक सदिश माना जाता है जिसकी लंबाई है | s || a | और जिसकी दिशा एक s के धनात्मक होती है और if s के विपरीत नकारात्मक होती है। इस प्रकार, एक -a वैक्टर परिमाण में बराबर हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं। पूर्वगामी परिभाषाएं और स्केलर संख्याओं (एस और टी द्वारा दर्शाए गए) के प्रसिद्ध गुण बताते हैं
कानून (1), (2), और (3) साधारण बीजगणित में सामना करने वालों के साथ समान हैं, वैक्टर युक्त रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए परिचित बीजगणितीय नियमों का उपयोग करना काफी उचित है। यह तथ्य विशुद्ध रूप से बीजीय द्वारा कटौती करना संभव बनाता है इसका मतलब है कि सिंथेटिक यूक्लिडियन ज्यामिति के कई प्रमेयों में जटिल ज्यामितीय निर्माण की आवश्यकता होती है।
वैक्टर के उत्पाद।
वैक्टर के गुणन में दो प्रकार के उत्पाद होते हैं, डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद।
दो वैक्टर a और b का डॉट या स्केलर उत्पाद, a · b लिखा जाता है, एक वास्तविक संख्या है | a || b cos (ए, बी), जहां (ए, बी) ए और बी के निर्देशों के बीच के कोण को दर्शाता है। ज्यामितीय,
यदि a और b समकोण पर हैं तो a = b = 0, और यदि न तो b न तो एक शून्य वेक्टर है तो डॉट उत्पाद का लुप्त होना वैक्टर को लंबवत दर्शाता है। यदि a = b तो cos (a, b) = 1, और a · a = | a | 2 ए की लंबाई का वर्ग देता है।
प्राथमिक, बीजगणित के साहचर्य, प्रशंसनीय और वितरण संबंधी कानून वैक्टर के डॉट गुणा के लिए मान्य हैं।
दो वैक्टर a और b का क्रॉस या वेक्टर उत्पाद, जिसे × b लिखा जाता है, वेक्टर है
जहाँ n, a और b के तल पर लंबवत इकाई लंबाई का वेक्टर है और इसलिए निर्देशित किया जाता है कि b की ओर घुमाया गया दायाँ हाथ n की दिशा में आगे बढ़ेगा (चित्र 2 देखें)। यदि a और b समांतर हैं, तो एक × b = 0. समकोण के क्षेत्र के रूप में a और b के परिमाण को एक समानांतर खण्ड के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, बी से ए से रोटेशन एक से बी के विपरीत है,
इससे पता चलता है कि क्रॉस उत्पाद सराहनीय नहीं है, लेकिन सहयोगी कानून (sa) × b = s (a × b) और वितरण कानून
क्रॉस उत्पादों के लिए मान्य हैं।
सिस्टम संयोजित करें।
चूंकि भौतिकी के अनुभवजन्य नियम भौतिक संबंधों और ज्यामितीय विन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुने गए संदर्भ फ्रेम के विशेष या आकस्मिक विकल्पों पर निर्भर नहीं करते हैं, वेक्टर विश्लेषण भौतिक ब्रह्मांड के अध्ययन के लिए एक आदर्श उपकरण बनाता है। एक विशेष संदर्भ फ्रेम या समन्वित प्रणाली की शुरूआत वैक्टर और संख्याओं के बीच एक पत्राचार स्थापित करती है जो उस फ्रेम में वैक्टर के घटकों का प्रतिनिधित्व करती है, और यह संख्याओं के इन सेटों पर संचालन के निश्चित नियमों को प्रेरित करती है जो लाइन पर संचालन के लिए नियमों का पालन करते हैं। खंडों।
यदि तीन नॉनकॉलीनियर वैक्टर (बेस बेस वैक्टर) के कुछ विशेष सेट का चयन किया जाता है, तो किसी भी वेक्टर ए को विशिष्ट रूप से समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनके किनारे बेस वैक्टर की दिशा में ए के घटक हैं। आम उपयोग में तीन परस्पर ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर (यानी, लंबाई 1 के वैक्टर) का एक सेट है, जो, मैं, परिचित कार्टेशियन संदर्भ फ्रेम के अक्षों के साथ निर्देशित है (चित्र 3 देखें)। इस प्रणाली में अभिव्यक्ति रूप लेती है
जहां x, y और z समन्वय अक्षों पर A के अनुमान हैं। जब दो वैक्टर A 1 और A 2 का प्रतिनिधित्व किया जाता है
तब कानूनों का उपयोग (3) उनकी राशि के लिए पैदावार
इस प्रकार, एक कार्टेशियन फ्रेम में, ए 1 और ए 2 का योग वेक्टर द्वारा निर्धारित होता है (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3)। साथ ही डॉट प्रोडक्ट भी लिखा जा सकता है
जबसे
कानून का उपयोग (6) के लिए पैदावार
ताकि क्रॉस उत्पाद वह वेक्टर हो जो आई (जे), और के (9) में गुणांक के रूप में दिखाई देने वाली संख्याओं के ट्रिपल द्वारा निर्धारित होता है।
यदि वैक्टरों के घटकों (x 1, x 2, x 3) से युक्त 1 × 3 (या 3 × 1) मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व किया जाता है, तो सूत्रों (7) को (9) भाषा के माध्यम से (9) सूत्र में बदलना संभव है। मैट्रिक्स। इस तरह के रीफ्रैसिंग से वेक्टर की अवधारणा का सामान्यीकरण तीन से अधिक आयामीता के रिक्त स्थान का पता चलता है। उदाहरण के लिए, एक गैस की स्थिति आम तौर पर दबाव पी, वॉल्यूम वी, तापमान टी और समय टी पर निर्भर करती है। संख्याओं का एक चौगुना (पी, वी, टी, टी) एक त्रि-आयामी संदर्भ फ्रेम में एक बिंदु द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। लेकिन चूंकि ज्यामितीय विज़ुअलाइज़ेशन बीजीय गणना में कोई भूमिका नहीं निभाता है, इसलिए ज्यामिति की आलंकारिक भाषा का उपयोग अभी भी आधार वैक्टर 1, 2, 3, एक 4 द्वारा निर्धारित घटकों के सेट द्वारा निर्धारित चार-आयामी संदर्भ फ्रेम द्वारा किया जा सकता है। मैट्रिक्स की पंक्तियाँ
सदिश x को तब रूप में दर्शाया जाता है
इतना है कि एक चार आयामी अंतरिक्ष में, हर वेक्टर घटकों (x 1, x 2, x 3, x 4) के चतुर्थक द्वारा निर्धारित किया जाता है ।
