कुंड का चतुर्भुज

चियोस के हिप्पोक्रेट्स (fl। C। 460 ई.पू.) ने प्रदर्शित किया कि वृत्ताकार चापों के बीच चंद्रमा के आकार के क्षेत्र, जिन्हें लुन्स के रूप में जाना जाता है, को बिल्कुल एक आयताकार क्षेत्र, या चतुष्कोण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। निम्नलिखित सरल मामले में, एक सही त्रिभुज के किनारों के आसपास विकसित दो लूपों में त्रिभुज के बराबर एक संयुक्त क्षेत्र होता है।

दाएं CABC से शुरू करते हुए, एक सर्कल बनाएं जिसका व्यास एबी (साइड सी), कर्ण से मेल खाता है। चूँकि इसके कर्ण के लिए वृत्त के व्यास के साथ खींचा गया कोई भी सही त्रिभुज वृत्त के भीतर खुदा होना चाहिए, C को वृत्त पर होना चाहिए।
चित्र में एसी (साइड बी) और बीसी (साइड ए) के साथ अर्धवृत्त खींचें।
परिणामी lunes L ₁ और L ₂ और परिणामस्वरूप सेगमेंट S ₁ और S _{2 को} लेबल करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
अब lunes (L ₁ और L ₂) का योग अर्धवृत्त (L ₁ + S ₁ और L ₂ + S ₂) के योग के बराबर होना चाहिए, जिसमें वे दो खंडों (S ₁ और S ₂) को घटाते हैं । इस प्रकार, एल ₁ + एल ₂ = ^π / ₂ (^बी / ₂) ² - एस ₁ + ^π / ₂ (^ए / ₂) ² - एस ₂ (चूंकि एक सर्कल का क्षेत्र the त्रिज्या के वर्ग के गुणा है)।
सेगमेंट (S ₁ और S ₂) का योग AB के माइनस के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इस प्रकार, एस ₁ + एस ₂ = ^π / ₂ (^सी / ₂) ² - SABC।
चरण 4 और फैक्टरिंग आम शब्दों बाहर, एल में चरण 5 में अभिव्यक्ति की स्थानापन्न ₁ + L ₂ = ^π / ₈ (क ² + b ² - सी ²) + ΔABC।
चूंकि पाइथागोरस प्रमेय द्वारा bACB = 90 °, एक ² + b ² - c ² = 0। इस प्रकार, एल ₁ + एल ₂ = LABC।

हिप्पोक्रेट्स ने कई तरह की धुनों को बनाने में कामयाबी हासिल की, जिनमें से कुछ अर्धवृत्त की तुलना में अधिक और कम आर्क्स पर थीं, और वह इस बात पर ध्यान नहीं देता था, हालांकि उन्हें विश्वास नहीं हो सकता था, कि उनकी विधि एक पूरे वृत्त को चौकोर कर सकती है। शास्त्रीय युग के अंत में, बोथियस (सी। एड। 470–524), जिनके यूक्लिड के स्निपेट के लैटिन अनुवादों में ज्यामिति का प्रकाश आधी सहस्राब्दी तक टिमटिमाता रहेगा, ने उल्लेख किया कि किसी ने सर्कल के स्क्वेरिंग को पूरा किया था। चाहे अज्ञात जीनियस ने धुनों का उपयोग किया हो या किसी अन्य विधि का पता नहीं हो, क्योंकि अंतरिक्ष की कमी के लिए बोथियस ने प्रदर्शन नहीं दिया था। इस प्रकार उन्होंने सर्कल के चतुष्कोण की चुनौती को ज्यामिति के टुकड़ों के साथ मिलकर प्रदर्शन करने में स्पष्ट रूप से उपयोगी माना। यूरोपियों ने असहाय कार्य को आत्मज्ञान में अच्छी तरह से रखा। अंत में, 1775 में, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज ने इसे प्रस्तुत किए गए कई समाधानों में कमियों को दूर करने के कार्य से तंग आकर, सर्कल स्क्वैरर्स के साथ कुछ भी करने से इनकार कर दिया।