सर्दस के यूडॉक्सस (सी। 400–350 bce) को यह दिखाने के लिए सबसे पहले सम्मान मिलता है कि एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके दायरे के वर्ग के समानुपाती होता है। आज के बीजीय संकेतन में, उस आनुपातिकता को परिचित सूत्र A = 2r 2 द्वारा व्यक्त किया जाता है । फिर भी, आनुपातिकता का निरंतरता, π, इसकी परिचितता के बावजूद, अत्यधिक रहस्यमय है, और इसे समझने और इसके सटीक मूल्य को खोजने की खोज ने हजारों वर्षों से गणितज्ञों पर कब्जा कर लिया है। 3: यूडोक्सस के बाद एक शताब्दी, आर्किमिडीज π का पहला अच्छा सन्निकटन पाया 10 / 71 <π <3 1 / 7। उन्होंने 96-पक्षीय बहुभुज (एनीमेशन देखें) के साथ एक सर्कल को अनुमानित करके यह हासिल किया। अधिक पक्षों के साथ बहुभुज का उपयोग करके भी बेहतर सन्निकटन पाए गए, लेकिन इनने केवल रहस्य को गहरा करने के लिए कार्य किया, क्योंकि कोई सटीक मूल्य तक नहीं पहुंचा जा सका, और सन्निकटन के अनुक्रम में कोई भी पैटर्न नहीं देखा जा सका।
रहस्य की एक आश्चर्यजनक समाधान 1500 ce के बारे में भारतीय गणितज्ञों द्वारा की खोज की थी: π अनंत द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है, लेकिन आश्चर्यजनक रूप से सरल, श्रृंखला π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯.वे की खोज की इस प्रतिलोम स्पर्शज्या समारोह के लिए श्रृंखला के एक विशेष मामले के रूप: तन -1 (x) = एक्स - एक्स 3 / 3 + एक्स 5 / 5 - एक्स 7 / 7 + ⋯।
इन परिणामों के अलग-अलग खोजकर्ता निश्चित रूप से ज्ञात नहीं हैं; कुछ विद्वान उन्हें नीलकंठ सोमयाजी, कुछ माधव को श्रेय देते हैं। भारतीय प्रमाण संरचनात्मक रूप से जेम्स ग्रेगरी, गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनीज और जैकब बर्नोली द्वारा बाद में यूरोप में खोजे गए प्रमाणों के समान हैं। मुख्य अंतर यह है कि, जहां यूरोपीय लोगों को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का लाभ मिला था, भारतीयों को फॉर्म की रकम की सीमा का पता लगाना था
1670 के बारे में उलटे स्पर्शरेखा श्रृंखला के ग्रेगरी के पुनर्वितरण से पहले, यूरोप में's के अन्य सूत्र खोजे गए थे। 1655 में जॉन वालिस अनंत उत्पाद की खोज π / 4 = 2 / 3 ∙ 4 / 3 ∙ 4 / 5 ∙ 6 / 5 ∙ 6 / 7 ⋯, और उनके सहयोगी विलियम Brouncker अनंत निरंतर अंश में इस तब्दील
अंत में, लिओनहार्ड यूलर का परिचय अनंत का विश्लेषण करने के लिए (1748) में, श्रृंखला π / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ⋯ Brouncker के निरंतर अंश में तब्दील हो जाता, दिखा रहा है कि सभी तीन सूत्रों में हैं कुछ समझ में आता है।
ब्रूनकर का अनंत निरंतर अंश विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बताता है कि not दूसरे शब्दों में एक साधारण अंश नहीं है- यह कि। तर्कहीन है। संभवतः इस विचार का उपयोग पहले प्रमाण में किया गया था कि ational तर्कहीन है, जो 1767 में जोहान लैम्बर्ट द्वारा दिया गया था।
