साधारण अंतर समीकरण गणित

सामान्य अंतर समीकरण, गणित में, एक समीकरण से संबंधित फ़ंक्शन का एक चर इसके डेरिवेटिव से संबंधित है। (यहां विशेषण सामान्य उन भिन्न समीकरणों को संदर्भित करता है, जिनमें एक चर को शामिल किया जाता है, जैसे कि ऐसे समीकरणों से भिन्न, जिसमें कई चर शामिल होते हैं, जिन्हें आंशिक अंतर समीकरण कहा जाता है।)

विश्लेषण: साधारण अंतर समीकरण

विश्लेषण गणित के कोने में से एक है। यह न केवल गणित के भीतर बल्कि इसके व्यापक होने के कारण भी महत्वपूर्ण है

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किसी फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न, लिखित f ′ या df / dx, प्रत्येक बिंदु पर परिवर्तन की अपनी दर को व्यक्त करता है - अर्थात, फ़ंक्शन का मान कितना तेजी से बढ़ता या घटता है, क्योंकि चर का मान बढ़ता या घटता है। फ़ंक्शन के लिए f = ax + b (एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करते हुए), परिवर्तन की दर बस इसकी ढलान है, जिसे f। = A के रूप में व्यक्त किया जाता है। अन्य कार्यों के लिए, फ़ंक्शन की वक्र के साथ परिवर्तन की दर भिन्न होती है, और इसे परिभाषित करने और गणना करने का सटीक तरीका अंतर कैलकुलस का विषय है। सामान्य तौर पर, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फिर से एक फ़ंक्शन होता है, और इसलिए व्युत्पन्न के व्युत्पन्न की गणना भी की जा सकती है, (f,) f या बस f ″ या d ² f / dx ², और दूसरे क्रम का व्युत्पन्न कहा जाता है मूल कार्य का। उच्च-क्रम डेरिवेटिव को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।

विभेदक समीकरण के क्रम को उस उच्चतम व्युत्पन्न क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें यह समाहित है। एक विभेदक समीकरण की डिग्री को उस शक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें उच्चतम क्रम व्युत्पन्न होता है। समीकरण (f equation) ² + (f ⁴) ⁴ + f = x एक दूसरे-डिग्री, तीसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है। एक प्रथम-डिग्री समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली शक्ति के होते हैं और यदि समीकरण में प्रत्येक व्युत्पन्न के गुणांक में केवल स्वतंत्र चर x शामिल होता है।

कुछ समीकरणों, जैसे कि f x = x ², को केवल इस बात को याद करके हल किया जा सकता है कि किस फ़ंक्शन में एक व्युत्पन्न है जो समीकरण को संतुष्ट करेगा, लेकिन ज्यादातर मामलों में समाधान निरीक्षण द्वारा स्पष्ट नहीं होता है, और अंतर समीकरणों के विषय आंशिक रूप से वर्गीकृत होते हैं। कई प्रकार के समीकरण जिन्हें विभिन्न तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।