तर्क और धात्विक
एक अर्थ में, तर्क की पहचान पहले आदेश की विधेय गणना के साथ की जानी है, परिकलन जिसमें चर एक निश्चित डोमेन के व्यक्तियों तक ही सीमित हैं - हालांकि इसमें पहचान का तर्क भी शामिल हो सकता है, "=," जिसका प्रतीक है पहचान के सामान्य गुणों को तर्क के हिस्से के रूप में लेता है। इस अर्थ में गोटलॉब फ्रीज ने 1879 की शुरुआत में तर्क की एक औपचारिक गणना को प्राप्त किया। कभी-कभी तर्क का अनुमान लगाया जाता है, हालांकि, उच्च-क्रम वाले विधेय को भी शामिल किया जाता है, जो उच्चतर प्रकार के चर को स्वीकार करते हैं, जैसे कि विधेय (या वर्ग और संबंध)) और इसी तरह। लेकिन फिर यह सेट सिद्धांत के समावेश का एक छोटा कदम है, और वास्तव में, स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत को अक्सर तर्क का एक हिस्सा माना जाता है। इस लेख के प्रयोजनों के लिए, हालांकि, पहले अर्थ में चर्चा को तर्क तक सीमित करना अधिक उचित है।
मेटलोगिक में तर्क से महत्वपूर्ण निष्कर्षों को अलग करना मुश्किल है, क्योंकि तर्कवादियों के लिए ब्याज की सभी प्रमेय तर्क के बारे में हैं और इसलिए मेटलोगिक से संबंधित हैं। यदि पी एक गणितीय प्रमेय है - विशेष रूप से, तर्क के बारे में एक - और पी, पी साबित करने के लिए नियोजित गणितीय स्वयंसिद्धों का एक संयोजन है, तो हर पी को तर्क में "या तो नहीं-पी या पी", एक प्रमेय में बदल दिया जा सकता है। गणित, हालांकि, तर्क में औपचारिक रूप से सभी चरणों को स्पष्ट रूप से पूरा करने के द्वारा नहीं किया जाता है; स्वयंसिद्धों का चयन और सहज ज्ञान दोनों गणित और मेटामैटमैटिक्स के लिए महत्वपूर्ण है। तर्क में वास्तविक व्युत्पत्ति, जैसे कि अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल द्वारा प्रथम विश्व युद्ध के ठीक पहले किए गए, तर्कवादियों के लिए थोड़े आंतरिक हित के हैं। इसलिए धातु शब्द का परिचय देना बेमानी हो सकता है। वर्तमान वर्गीकरण में, हालांकि, मेटलोगिक की कल्पना न केवल तार्किक गणनाओं के बारे में निष्कर्ष के साथ की जाती है, बल्कि औपचारिक प्रणाली और सामान्य रूप से औपचारिक भाषाओं के अध्ययन के साथ की जाती है।
एक साधारण औपचारिक प्रणाली एक तार्किक गणना से भिन्न होती है, जिसमें आमतौर पर प्रणाली की एक व्याख्या होती है, जबकि तार्किक गणना जानबूझकर खुली व्याख्या को छोड़ देती है। इस प्रकार, एक औपचारिक प्रणाली में वाक्यों की सच्चाई या मिथ्या के उदाहरण के लिए बोलता है, लेकिन एक तार्किक गणना के संबंध में एक वैधता की बात करता है (अर्थात, सभी व्याख्याओं में या सभी संभावित दुनिया में सच है) और संतोष की (या एक मॉडल होना - यानी, कुछ विशेष व्याख्या में सच होना)। इसलिए, एक तार्किक पथरी की पूर्णता का औपचारिक प्रणाली से काफी अलग अर्थ है: एक तार्किक कलन विधि कई वाक्यों की अनुमति देती है जैसे कि न तो वाक्य और न ही इसकी उपेक्षा एक प्रमेय है क्योंकि यह कुछ व्याख्याओं में सच है और दूसरों में गलत है, और इसके लिए केवल यह आवश्यक है कि प्रत्येक वैध वाक्य एक प्रमेय हो।
