कर्ट गोडेल, गोडेल ने भी गोएडेल, (जन्म 28 अप्रैल, 1906, ब्रूने, ऑस्ट्रिया-हंगरी [अब ब्रनो, चेक रेप।] - मृत्युंजय। 14, 1978, प्रिंसटन, एनजे, यूएस), ऑस्ट्रिया में जन्मे गणितज्ञ, तर्कशास्त्री, और। दार्शनिक जिन्होंने 20 वीं शताब्दी का सबसे महत्वपूर्ण गणितीय परिणाम प्राप्त किया हो सकता है: उनकी प्रसिद्ध अपूर्णता प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि किसी भी स्वयंसिद्ध गणितीय प्रणाली के भीतर ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें उस प्रणाली के भीतर स्वयंसिद्धों के आधार पर सिद्ध या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है; इस प्रकार, ऐसी प्रणाली एक साथ पूर्ण और सुसंगत नहीं हो सकती है। इस प्रमाण ने गोडेल को अरस्तू के बाद सबसे महान तर्कवादियों में से एक के रूप में स्थापित किया और आज भी इसके प्रतिवादों को महसूस और बहस जारी है।
गणित की नींव: गोडेल
हिल्बर्ट के कार्यक्रम में निहित यह आशा थी कि उकसाने की वाक्यगत धारणा सच्चाई की अर्थगत धारणा को पकड़ लेगी। गोडेल
शुरुआती ज़िंदगी और पेशा
गोडेल को एक बच्चे के रूप में खराब स्वास्थ्य के कई दौरों का सामना करना पड़ा, 6 साल की उम्र में गठिया के बुखार के बाद, जिससे उसे कुछ अवशिष्ट हृदय की समस्या होने का डर था। उनके स्वास्थ्य के साथ उनकी आजीवन चिंता ने उनके अंतिम व्यामोह में योगदान दिया, जिसमें उनके खाने के बर्तनों की सफाई और उनके भोजन की शुद्धता पर चिंता करना शामिल था।
जर्मन-भाषी ऑस्ट्रियाई के रूप में, गोडेल ने स्वयं को चेकोस्लोवाकिया के नवगठित देश में रहते हुए पाया जब 1918 में प्रथम विश्व युद्ध के अंत में ऑस्ट्रो-हंगेरियन साम्राज्य टूट गया था। छह साल बाद, हालांकि, वे ऑस्ट्रिया में अध्ययन करने गए थे। वियना विश्वविद्यालय में, जहां उन्होंने 1929 में गणित में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की। वह अगले वर्ष वियना विश्वविद्यालय में संकाय में शामिल हो गए।
उस अवधि के दौरान, वियना दुनिया के बौद्धिक केंद्रों में से एक था। यह प्रसिद्ध वियना सर्किल, वैज्ञानिकों, गणितज्ञों, और दार्शनिकों के एक समूह का घर था, जिन्होंने प्रकृतिवाद, दृढ़ता से अनुभवजन्य, और एंटीमैटिसिपिकल दृष्टिकोण को तार्किक प्रत्यक्षवाद के रूप में जाना। गोडेल के शोध प्रबंध सलाहकार, हंस हैन, वियना सर्कल के नेताओं में से एक थे, और उन्होंने अपने स्टार छात्र को समूह में पेश किया। हालाँकि, गोदेल के अपने दार्शनिक विचार सकारात्मकवादियों से अलग नहीं हो सकते थे। उन्होंने प्लॉटनिज़्म, आस्तिकता और मन-शरीर द्वंद्ववाद की सदस्यता ली। इसके अलावा, वह कुछ हद तक मानसिक रूप से अस्थिर था और व्यामोह के अधीन था - एक समस्या जो उसके वृद्ध होने के साथ-साथ बदतर होती गई। इस प्रकार, वियना सर्कल के सदस्यों के साथ उनके संपर्क ने उन्हें इस भावना के साथ छोड़ दिया कि 20 वीं शताब्दी उनके विचारों के प्रति शत्रुतापूर्ण थी।
गोडेल के प्रमेय
अपने डॉक्टरेट की थीसिस में, "doctorber die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("लॉजिक की गणना की पूर्णता पर"), 1930 में थोड़े छोटे रूप में प्रकाशित, गोकेल ने सदी के सबसे महत्वपूर्ण तार्किक परिणामों में से एक साबित किया- वास्तव में। सभी समय-अर्थात्, पूर्णता प्रमेय, जिसने उस शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क या विधेय गणना की स्थापना की, इस अर्थ में पूर्ण है कि सभी प्रथम-क्रम तार्किक सत्य मानक प्रथम-क्रम प्रमाण प्रणाली में सिद्ध किए जा सकते हैं।
यह, हालांकि, 1931 में प्रकाशित गॉडल के नाम के साथ तुलना में कुछ भी नहीं था - अर्थात्, अपूर्णता प्रमेय: "“ber औपचारिक unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systemy" ("प्रिंसिपिया मैथेमेटिका और संबंधित प्रणालियों के औपचारिक रूप से अनिर्दिष्ट प्रस्तावों पर")। मोटे तौर पर, इस प्रमेय ने यह परिणाम स्थापित किया कि गणित के किसी भी शाखा में गणितीय सिद्धांत के निर्माण के लिए स्वयंसिद्ध पद्धति का उपयोग करना असंभव है, जो कि गणित की उस शाखा में सभी सत्य को जोड़ता है। (इंग्लैंड में, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल ने इस तरह के एक कार्यक्रम पर वर्षों बिताए थे, जिसे उन्होंने 1910, 1912 और 1913 में तीन संस्करणों में प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के रूप में प्रकाशित किया था।) उदाहरण के लिए, एक स्वयंसिद्ध गणितीय सिद्धांत के साथ आना असंभव है। प्राकृतिक संख्याओं (0, 1, 2, 3, के बारे में भी सभी को पकड़ लेता है)
।)। यह एक अत्यंत महत्वपूर्ण नकारात्मक परिणाम था, जैसा कि 1931 से पहले कई गणितज्ञ ठीक-ठीक करने की कोशिश कर रहे थे - स्वयंसिद्ध प्रणालियों का निर्माण जो कि सभी गणितीय सत्य साबित करने के लिए इस्तेमाल की जा सकती हैं। दरअसल, कई जाने-माने तर्कशास्त्री और गणितज्ञ (जैसे, व्हाइटहेड, रसेल, गोटलॉब फ्रीज, डेविड हिल्बर्ट) ने अपने करियर के महत्वपूर्ण हिस्से इस परियोजना पर खर्च किए। दुर्भाग्य से उनके लिए, गोडेल के प्रमेय ने इस पूरे स्वयंसिद्ध अनुसंधान कार्यक्रम को नष्ट कर दिया।
अंतर्राष्ट्रीय स्टारडम और संयुक्त राज्य अमेरिका के लिए कदम
अपूर्णता प्रमेय के प्रकाशन के बाद, गोडेल एक अंतरराष्ट्रीय स्तर पर ज्ञात बौद्धिक व्यक्ति बन गए। उन्होंने कई बार संयुक्त राज्य अमेरिका की यात्रा की और न्यू जर्सी के प्रिंसटन विश्वविद्यालय में बड़े पैमाने पर व्याख्यान दिया, जहां उन्होंने अल्बर्ट आइंस्टीन से मुलाकात की। यह एक करीबी दोस्ती की शुरुआत थी जो 1955 में आइंस्टीन की मृत्यु तक चलेगी।
हालाँकि, यह इस अवधि के दौरान भी था कि गोडेल का मानसिक स्वास्थ्य बिगड़ने लगा। वह अवसाद के मुकाबलों से पीड़ित था, और एक विक्षिप्त छात्र द्वारा वियना सर्कल के नेताओं में से एक मोरिट्ज श्लिक की हत्या के बाद, गोडेल को एक नर्वस ब्रेकडाउन का सामना करना पड़ा। आने वाले वर्षों में, उन्होंने कई और कष्ट झेले।
12 मार्च, 1938 को नाज़ी जर्मनी ने ऑस्ट्रिया पर कब्जा करने के बाद, गोडेल ने खुद को एक अजीब स्थिति में पाया, आंशिक रूप से क्योंकि उसके पास वियना सर्कल के विभिन्न यहूदी सदस्यों के साथ निकट संबंध का एक लंबा इतिहास था (वास्तव में, उसे वियना की सड़कों पर हमला किया गया था। उन युवाओं द्वारा जो सोचते थे कि वह यहूदी हैं) और आंशिक रूप से क्योंकि उन्हें अचानक जर्मन सेना में शामिल होने का खतरा था। 20 सितंबर, 1938 को गोडेल ने एडेल निम्बर्सकी (नी पोर्कर्ट) से शादी की, और जब एक साल बाद द्वितीय विश्व युद्ध शुरू हुआ, तो वह अपनी पत्नी के साथ यूरोप भाग गए, एशिया-पार साइबेरियाई रेलवे लेकर, प्रशांत महासागर में नौकायन कर रहे थे। और फिर संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रिंसटन, एनजे के पास एक और ट्रेन ले जाना, जहां, आइंस्टीन की मदद से, उन्होंने नवगठित इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज (IAS) में एक पद ग्रहण किया। उन्होंने अपना शेष जीवन IAS में काम करने और पढ़ाने में बिताया, जिससे वे 1976 में सेवानिवृत्त हो गए। 1948 में गोडेल अमेरिकी नागरिक बन गए। (आइंस्टीन उनकी सुनवाई में शामिल हुए, क्योंकि गोडल का व्यवहार अप्रत्याशित नहीं था, और आइंस्टीन को डर था कि गोदेल शायद उनकी तोड़फोड़ करेंगे। अपना मामला।)
1940 में, प्रिंसटन में आने के कुछ ही महीनों बाद, गोडेल ने एक और क्लासिक गणितीय पेपर प्रकाशित किया, "सेट की थ्योरी के साथ जनरल ऑफ कॉन्टिनम-हाइपोथिसिस की संगति और चिरस्थायी परिकल्पना की संगति", जिसने साबित किया कि पसंद का स्वयंसिद्ध और निरंतरता। परिकल्पना मानक सिद्धांत (जैसे जर्मेलो-फ्रेंकेल एक्सिओम्स) के सेट सिद्धांत के अनुरूप हैं। इसने गोडेल के अनुमान के आधे हिस्से की स्थापना की, अर्थात्, निरंतरता की परिकल्पना को मानक निर्धारित सिद्धांतों में सही या गलत साबित नहीं किया जा सकता है। गोडेल के प्रमाण से पता चला है कि यह उन सिद्धांतों में गलत साबित नहीं हो सकता है। 1963 में अमेरिकी गणितज्ञ पॉल कोहेन ने प्रदर्शित किया कि यह उन सिद्धांतों में सही साबित नहीं हो सकता है, जो गोडेल के अनुमान को इंगित करते हैं।
1949 में गोडेल ने भौतिकी में भी एक महत्वपूर्ण योगदान दिया, यह दिखाते हुए कि आइंस्टीन का सामान्य सापेक्षता का सिद्धांत समय यात्रा की संभावना के लिए अनुमति देता है।
