ग्राफ गणित

ग्राफ, सांख्यिकीय आंकड़ों का चित्रात्मक प्रतिनिधित्व या चर के बीच एक कार्यात्मक संबंध। डेटा के मात्रात्मक व्यवहार में सामान्य प्रवृत्तियों को दिखाने का फायदा ग्राफ़ को होता है, और इसलिए यह एक पूर्वानुमान कार्य करता है। हालांकि, केवल अनुमान के अनुसार, वे गलत और कभी-कभी भ्रामक हो सकते हैं।

नंबर गेम: रेखांकन और नेटवर्क

शब्द ग्राफ विश्लेषणात्मक ज्यामिति और फ़ंक्शन सिद्धांत के परिचित घटता को संदर्भित कर सकता है, या इसमें सरल ज्यामितीय आंकड़े शामिल हो सकते हैं

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अधिकांश रेखांकन दो अक्षों को नियोजित करते हैं, जिसमें क्षैतिज अक्ष स्वतंत्र चर के समूह का प्रतिनिधित्व करता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष निर्भर चर के समूह का प्रतिनिधित्व करता है। सबसे आम ग्राफ एक टूटी-रेखा ग्राफ है, जहां स्वतंत्र चर आमतौर पर समय का एक कारक है। डेटा बिंदुओं को इस तरह के ग्रिड पर प्लॉट किया जाता है और फिर लाइन सेगमेंट के साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए, बिक्री के रुझान में मौसमी उतार-चढ़ाव। हालाँकि, डेटा पॉइंट्स को टूटी हुई रेखा में नहीं जोड़ा जाना चाहिए। इसके बजाय वे केवल एक मध्य रेखा या वक्र के आसपास गुच्छेदार हो सकते हैं, जैसा कि प्रायोगिक भौतिकी या रसायन विज्ञान में अक्सर होता है।

यदि स्वतंत्र चर स्पष्ट रूप से अस्थायी नहीं है, तो एक दूसरे के संबंध में असतत संख्यात्मक मात्रा दिखाने के लिए एक बार ग्राफ का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विभिन्न राष्ट्रों की सापेक्ष आबादी का वर्णन करने के लिए, समानांतर कॉलम या बार की एक श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है। प्रत्येक पट्टी की लंबाई संबंधित देश की जनसंख्या के आकार के अनुपात में होती है, जो इसका प्रतिनिधित्व करती है। इस प्रकार, एक जनसांख्यिकी एक नज़र में देख सकता है कि चीन की आबादी अपने निकटतम प्रतिद्वंद्वी, भारत से लगभग 30 प्रतिशत बड़ी है।

एक ही जानकारी को एक परिपत्र ग्राफ का उपयोग करके एक पूरे-से-पूरे रिश्ते में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें एक वृत्त को खंडों में विभाजित किया गया है, और जहां प्रत्येक क्षेत्र का आकार, या कोण, सीधे पूरे के प्रतिशत के आनुपातिक है का प्रतिनिधित्व करता है। ऐसा ग्राफ़ बार के ग्राफ़ के समान सापेक्ष जनसंख्या आकार दिखाएगा, लेकिन यह भी स्पष्ट करेगा कि दुनिया की लगभग एक-चौथाई आबादी चीन में रहती है। इस प्रकार का ग्राफ, जिसे पाई चार्ट के रूप में भी जाना जाता है, का उपयोग आमतौर पर एक बजट में वस्तुओं के टूटने को दिखाने के लिए किया जाता है।

एनालिटिकल ज्योमेट्री में, ग्राफ़ का उपयोग कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम पर दो वेरिएबल्स के फंक्शन्स को मैप करने के लिए किया जाता है, जो एक क्षैतिज एक्स-एक्सिस, या एब्सिस्सा और वर्टिकल वाई-एक्सिस या ऑर्डिनेट से बना होता है। प्रत्येक अक्ष एक वास्तविक संख्या रेखा है, और प्रत्येक के शून्य बिंदु पर उनके चौराहे को मूल कहा जाता है। इस अर्थ में एक ग्राफ सभी बिंदुओं का स्थान है (x, y) जो किसी विशेष कार्य को पूरा करता है।

रेखांकन के लिए सबसे आसान कार्य रैखिक, या प्रथम-डिग्री, समीकरण हैं, जिनमें से सबसे सरल y = x है। इस समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है जो ग्राफ के निचले बाएँ और ऊपरी दाएं चतुर्भुजों को पीछे छोड़ती है, जो 45 डिग्री के कोण पर उत्पत्ति से गुजरती है। इस तरह के नियमित रूप से आकार में घटता है जैसे कि परवल, हाइपरबोलस, सर्कल, और दीर्घवृत्त दूसरे-डिग्री समीकरणों के ग्राफ हैं। इन और अन्य गैर-रेखीय कार्यों को कभी-कभी एक लघुगणक ग्रिड पर चित्रित किया जाता है, जहां एक अक्ष पर एक बिंदु स्वयं चर नहीं होता है, लेकिन उस चर का लघुगणक होता है। इस प्रकार, कार्टेशियन निर्देशांक वाला एक पेराबोला लॉगरिदमिक निर्देशांक के साथ एक सीधी रेखा बन सकता है।

कुछ मामलों में, ध्रुवीय निर्देशांक (qv) एक अधिक उपयुक्त ग्राफिक सिस्टम प्रदान करते हैं, जिससे उनके सामान्य केंद्र या मूल के माध्यम से सीधी रेखाओं के साथ संकेंद्रित हलकों की एक श्रृंखला, एक परिपत्र विमान पर बिंदुओं का पता लगाने का कार्य करती है। दोनों बीजगणित और ध्रुवीय निर्देशांक का विस्तार तीन आयामों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है ताकि संबंधित बीजगणितीय या ट्राइगोमेट्रिक फ़ंक्शन में तीसरा चर पेश किया जा सके। तीन अक्षों का समावेश पूर्व मामले में ठोस निकायों के लिए एक आइसोमेट्रिक ग्राफ और बाद में घुमावदार सतहों के लिए गोलाकार निर्देशांक के साथ एक ग्राफ के परिणामस्वरूप होता है।