गणित की नींव

श्रेणी सिद्धांत

गणित में अमूर्तता

गणित के विकास में एक हालिया प्रवृत्ति अमूर्तता की क्रमिक प्रक्रिया रही है। नॉर्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल (1802–29) ने साबित कर दिया कि सामान्य तौर पर पांचवीं डिग्री के समीकरण, रेडिकल द्वारा हल नहीं किए जा सकते। फ्रांसीसी गणितज्ञ istvariste Galois (1811–32), हाबिल के काम से प्रेरित होकर, बहुपदीय समीकरण के लिए आवश्यक शर्तों को निर्धारित करने के लिए क्रमपरिवर्तन के कुछ समूहों को हल करने के लिए प्रस्तुत किया। इन ठोस समूहों ने जल्द ही अमूर्त समूहों को जन्म दिया, जिन्हें स्वयंसिद्ध रूप से वर्णित किया गया था। तब यह महसूस किया गया कि समूहों का अध्ययन करने के लिए विभिन्न समूहों के बीच के संबंध को देखना जरूरी था - विशेष रूप से, समरूपता पर जो समूह के संचालन को संरक्षित करते हुए एक समूह को दूसरे में मैप करते हैं। इस प्रकार लोगों ने यह अध्ययन करना शुरू किया कि अब समूहों के ठोस वर्ग को क्या कहा जाता है, जिनकी वस्तुएं समूह हैं और जिनके तीर homomorphism हैं। कंक्रीट श्रेणियों को अमूर्त श्रेणियों द्वारा प्रतिस्थापित करने में लंबे समय तक नहीं लगा, फिर से स्वयंसिद्ध रूप से वर्णित।

एक श्रेणी की महत्वपूर्ण धारणा द्वितीय विश्व युद्ध के अंत में सैमुअल इलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा प्रस्तुत की गई थी। इन आधुनिक श्रेणियों को अरस्तू की श्रेणियों से अलग किया जाना चाहिए, जिन्हें वर्तमान संदर्भ में बेहतर प्रकार कहा जाता है। एक श्रेणी में न केवल वस्तुएं होती हैं, बल्कि उनके बीच में तीर (जिसे रूपवाद, रूपांतर या मैपिंग भी कहा जाता है) होता है।

कई श्रेणियों में ऑब्जेक्ट्स कुछ संरचना और तीरों के साथ संपन्न होते हैं, जो इस संरचना को संरक्षित करते हैं। इस प्रकार, सेट की श्रेणियां मौजूद हैं (खाली संरचना के साथ) और मैपिंग, समूहों और समूह-होमोमोर्फिम्स की, रिंगों और रिंग-होमोमोर्फिम्स की, वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक परिवर्तनों की, टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर मैपिंग की, और इसी तरह। वहाँ भी मौजूद है, अभी भी अधिक अमूर्त स्तर पर, (छोटे) श्रेणियों और फंक्शनलर्स की श्रेणी के रूप में, श्रेणियों के बीच के आकार को कहा जाता है, जो वस्तुओं और तीरों के बीच संबंधों को संरक्षित करते हैं।

सभी श्रेणियों को इस ठोस तरीके से नहीं देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक आगमनात्मक प्रणाली के सूत्र को एक श्रेणी की वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है, जिनके तीर f: A → B, A से B की कटौती हैं। वास्तव में, यह दृष्टिकोण सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में महत्वपूर्ण है, जहाँ सूत्रों के बारे में सोचा जाता है संचालन के रूप में प्रकार और कटौती।

औपचारिक रूप से, एक श्रेणी में (1) ऑब्जेक्ट A, B, C, का संग्रह होता है। ।, (2) संग्रह में प्रत्येक आदेशित वस्तुओं की जोड़ी के लिए परिवर्तनों का एक संबद्ध संग्रह जिसमें पहचान I _A and A → A, और (3) श्रेणी के प्रत्येक आदेश के लिए रचना का एक संबद्ध कानून श्रेणी में वस्तुओं का ट्रिपल जैसे कि f C A → B और g → B → C कंपोज़िशन gf (या g ∶ f) A से C- यानी, gf → A → C. का परिवर्तन है। इसके साथ ही, सहयोगी कानून और पहचानों को रखना आवश्यक है (जहाँ रचनाओं परिभाषित कर रहे हैं) यानी, ज (gf) = (Hg) च और 1 _बी च = f1 = च _एक ।

एक अर्थ में, एक सार श्रेणी की वस्तुओं में कोई खिड़कियां नहीं हैं, जैसे लीबनीज के मठ। किसी वस्तु के आंतरिक भाग का पता लगाने के लिए, किसी को केवल अन्य वस्तुओं के ए से सभी तीरों को देखने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, सेटों की श्रेणी में, एक सेट ए के तत्वों को एक विशिष्ट एक-तत्व से ए में तीर द्वारा दर्शाया जा सकता है। । इसी तरह, छोटे श्रेणियों की श्रेणी में, अगर 1 एक वस्तु और कोई nonidentity तीर के साथ वर्ग है, एक वर्ग की वस्तुओं एक functors के साथ की पहचान की जा सकती है 1 → एक । इसके अलावा, यदि 2 दो वस्तुओं और एक गैर-अज्ञात तीर के साथ श्रेणी है, तो ए के तीर को फंक्शंस 2 → ए के साथ पहचाना जा सकता है ।

आइसोमोर्फिक संरचनाएँ

एक तीर च: → एक उलटा करने के लिए च-अर्थात, ऐसा है कि जी ○ च = 1 बी: एक → बी समाकृतिकता कहा जाता है अगर वहाँ एक तीर जी _एक और च ○ जी = 1 _बी । इसे ए, बी लिखा जाता है, और ए और बी को आइसोमोर्फिक कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि उनके पास अनिवार्य रूप से एक ही संरचना है और उनके बीच अंतर करने की कोई आवश्यकता नहीं है। गणितीय संस्थाओं के रूप में Inasmuch श्रेणियों की वस्तुएं हैं, उन्हें केवल आइसोमोर्फिज्म तक दिया जाता है। उनके पारंपरिक सेट-सैद्धांतिक निर्माण, स्थिरता दिखाने में एक उपयोगी उद्देश्य की सेवा करने से अलग, वास्तव में अप्रासंगिक हैं।

उदाहरण के लिए, पूर्णांक के रिंग के सामान्य निर्माण में, एक पूर्णांक को प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े (m, n) के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ (m, n) (m ′, n ′) के बराबर होता है यदि केवल अगर m + n ′ = m ′ + n। विचार यह है कि (m, n) के समतुल्य वर्ग को m - n के रूप में देखा जाना है। एक वर्गीकरणकर्ता के लिए महत्वपूर्ण है, हालांकि, यह है कि पूर्णांकों की रिंग om रिंग्स और होमोमोर्फिज्म की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु है - अर्थात, प्रत्येक रिंग के लिए om एक अद्वितीय होमोमोर्फिज्म है ℝ → ℝ। इस तरह देखा, ℤ केवल आइसोमोर्फिज्म तक दिया जाता है। उसी भावना में, यह नहीं कहा जाना चाहिए कि spirit परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में निहित है, लेकिन केवल यह कि समरूपता om → ℚ एक-से-एक है। इसी तरह, यह to और वर्गमूल √-1 के सेट-सैद्धांतिक चौराहे की बात करने का कोई मतलब नहीं है, अगर दोनों को सेट के सेट के रूप में व्यक्त किया जाता है (विज्ञापन infinitum)।

नींव और अन्य जगहों पर विशेष रुचि के सहायक उपकरण (एफ, जी) हैं। ये दो श्रेणियों ? और two के बीच फ़ंक्शनलर्स की जोड़ी हैं, जो विपरीत दिशाओं में जाते हैं जैसे कि तीर के सेट F (A) → B में arrows और तीर A + G के सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार मौजूद है) में is - कि, इस तरह के सेट isomorphic हैं।