औपचारिक तर्क

शब्दार्थ झांकी

1980 के दशक के बाद से पीसी या एलपीसी में तर्कों की वैधता का निर्धारण करने के लिए एक और तकनीक ने कुछ लोकप्रियता हासिल की है, यह दोनों सीखने की आसानी और कंप्यूटर कार्यक्रमों द्वारा इसके सीधे कार्यान्वयन के कारण है। मूल रूप से डच तर्कशास्त्री एवर्ट डब्ल्यू बेथ ने सुझाव दिया था, यह अमेरिकी गणितज्ञ और तर्कशास्त्री रेमंड एम। स्मुलियन द्वारा पूरी तरह से विकसित और प्रचारित किया गया था। इस अवलोकन पर आराम करना कि एक वैध तर्क के परिसर के लिए असंभव है, जबकि निष्कर्ष गलत है, यह विधि परिसर को इस तरह से व्याख्या (या मूल्यांकन) करने का प्रयास करती है कि वे सभी एक साथ संतुष्ट हों और उपेक्षा निष्कर्ष भी संतुष्ट है। इस तरह के प्रयास में सफलता तर्क को अमान्य दिखाती है, जबकि इस तरह की व्याख्या को खोजने में विफलता इसे वैध दिखाती है।

सिमेंटिक झांकी का निर्माण निम्नानुसार होता है: पीसी में एक तर्क के निष्कर्ष के परिसर और निषेध को केवल निषेध (and) और डिसजंक्शन (∨) के रूप में प्रस्तावक संयोजकों के रूप में व्यक्त करें। एक अनुक्रम में दो नकारात्मक संकेतों की हर घटना को हटा दें (जैसे, becomesa everya बन जाता है)। अब एक पेड़ के आरेख का निर्माण नीचे की ओर इस तरह से करें कि प्रत्येक अव्यवस्था को दो शाखाओं द्वारा बदल दिया जाए, एक बाएं खंड के लिए और एक दाईं ओर। मूल विघटन सत्य है यदि कोई शाखा सत्य है। डी मॉर्गन के कानूनों के संदर्भ से पता चलता है कि दोनों मामलों की उपेक्षा सही होने की स्थिति में एक अस्वीकृति का निषेध सही है [अर्थात, ∼ (p) q) ≡ (∼p · ∼q)]। यह शब्दार्थ अवलोकन इस नियम की ओर जाता है कि एक विघटन की अवहेलना एक शाखा बन जाती है जिसमें प्रत्येक विच्छेद का निषेध होता है:

निम्नलिखित तर्क पर विचार करें:

लिखो:

अब डिसकनेक्शन पर प्रहार करें और दो शाखाएँ बनाएँ:

केवल अगर कम से कम एक शाखा में सभी वाक्य सही हैं, तो क्या यह संभव है कि मूल परिसर सही हो और निष्कर्ष गलत (निष्कर्ष की उपेक्षा के लिए समान रूप से)। प्रत्येक शाखा में ऊपर की ओर पेड़ के ऊपर की रेखा को ट्रेस करके, एक यह देखता है कि बाईं शाखा में किसी का कोई मूल्यांकन नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप उस शाखा में सभी वाक्य सही मान प्राप्त करेंगे (क्योंकि और ∼a की उपस्थिति के कारण) । इसी तरह, सही शाखा में b और itb की मौजूदगी से वैल्यूएशन के लिए यह असंभव हो जाता है कि शाखा के सभी वाक्यों को मान प्राप्त होता है। ये सभी संभव शाखाएं हैं; इस प्रकार, ऐसी स्थिति का पता लगाना असंभव है जिसमें परिसर सत्य है और निष्कर्ष गलत है। मूल तर्क इसलिए मान्य है।

इस तकनीक को अन्य संयोजकों से निपटने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

इसके अलावा, एलपीसी में, मात्रात्मक वफ़ियों को तुरंत शुरू करने के नियमों को पेश करने की आवश्यकता है। स्पष्ट रूप से, दोनों ()x) ∼ϕx और isy युक्त कोई भी शाखा वह है जिसमें उस शाखा के सभी वाक्य एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकते हैं (consist- संगति की धारणा के तहत; धातुविषयक देखें)। फिर, यदि सभी शाखाएँ एक साथ संतोषजनक नहीं हो पाती हैं, तो मूल तर्क मान्य है।

एलपीसी की विशेष प्रणाली

ऊपर उल्लिखित LPC को विभिन्न तरीकों से वफ़ों की सीमा को प्रतिबंधित या विस्तारित करके संशोधित किया जा सकता है:

• 1. LPC की वैकल्पिक प्रणालियाँ। प्रतिबंध द्वारा निर्मित कुछ और महत्वपूर्ण प्रणालियाँ यहाँ उल्लिखित हैं:

  • a। यह आवश्यक हो सकता है कि प्रत्येक विधेय परिवर्तनशील वैयक्तिक हो और अभी भी व्यक्तिगत और विधेय चर की अनंत संख्या की अनुमति दे। परमाणु wffs तो बस एक एकल वैयक्तिक चर के बाद एक विधेय चर से मिलकर कर रहे हैं। अन्यथा, गठन नियम पहले की तरह बने हुए हैं, और वैधता की परिभाषा भी पहले की तरह है, हालांकि स्पष्ट तरीकों से सरल है। इस प्रणाली को monadic LPC के रूप में जाना जाता है; यह गुणों का तर्क प्रदान करता है, लेकिन संबंधों का नहीं। इस प्रणाली की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह निर्णायक है। (यहां तक ​​कि एक एकल डायडिक विधेय चर का परिचय, हालांकि, सिस्टम को अनिर्दिष्ट बना देगा, और, वास्तव में, यहां तक ​​कि सिस्टम में केवल एक ही डायैडिक विधेय चर होता है और कोई अन्य विधेय चर बिल्कुल भी अयोग्य नहीं दिखाया गया है।)

  • bA अभी भी सरल प्रणाली (1) की आवश्यकता के द्वारा बनाई जा सकती है, जो कि प्रत्येक विधेय चर का एकरूप हो, (2) कि केवल एक एकल चर (जैसे, x) का उपयोग किया जाए, (3) कि इस चर की प्रत्येक घटना बाध्य हो, और 4) कि कोई भी मात्रात्मक किसी अन्य के दायरे में नहीं आता है। इस प्रणाली के wffs के उदाहरण हैं ()x) [⊃x ψ (ψx · “x)] ("जो भी ϕ s ψ और) दोनों हैं"); (∼ψx) (ϕx · ∃x) ("कुछ ऐसा है जो ∃ है, लेकिन ψ नहीं"); और (⊃x) (ϕx ∀)x) ∃ ()x) (ϕx · “x) ("यदि जो ϕ ψ है, तो कुछ ϕ और ψ" है)। इस प्रणाली के लिए संकेतन को हर जगह x को छोड़ कर और "कुछ है ϕ," ϕ (ψ ∀ ψ) के ​​लिए "जो भी system ψ है," के लिए लिखा जा सकता है। यद्यपि यह प्रणाली विवादास्पद एलपीसी (जिनमें से यह एक टुकड़ा है) की तुलना में अधिक अल्पविकसित है, इसमें व्यापक श्रेणी के अनुमानों के रूपों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यह एक निर्णायक प्रणाली भी है, और इसके लिए एक प्राथमिक प्रकार की निर्णय प्रक्रियाएं दी जा सकती हैं।

• 2. एलपीसी के संबंध में। अधिक विस्तृत प्रणाली, जिसमें कई प्रकार के प्रस्ताव व्यक्त किए जा सकते हैं, विभिन्न प्रकारों के एलपीसी नए प्रतीकों को जोड़कर निर्मित किए गए हैं। इस तरह के अतिरिक्त सबसे सीधे हैं:

  • एक या अधिक व्यक्तिगत स्थिरांक (कहते हैं, ए, बी, ।): इन स्थिरांक की व्याख्या विशिष्ट व्यक्तियों के नामों के रूप में की जाती है; औपचारिक रूप से वे अलग-अलग चर से इस तथ्य से प्रतिष्ठित होते हैं कि वे क्वांटिफायर के भीतर नहीं हो सकते; उदाहरण के लिए, (,x) एक मात्रा है लेकिन (isa) नहीं है।

  • एक अधिक या स्थिरांक स्थिरांक (कहते हैं, ए, बी, ।), प्रत्येक निर्दिष्ट डिग्री, विशिष्ट गुणों या संबंधों को नामित करने के रूप में सोचा गया।

एक और संभावित अतिरिक्त, जो कुछ हद तक पूर्ण विवरण के लिए कहता है, कार्यों के लिए खड़ा करने के लिए डिज़ाइन किए गए प्रतीकों में शामिल हैं। किसी फ़ंक्शन की धारणा को वर्तमान उद्देश्यों के लिए पर्याप्त रूप से समझाया जा सकता है। कहा जाता है कि जब कोई तर्क निर्दिष्ट किया जाता है, तो एक निश्चित ऑब्जेक्ट (या डिग्री n) का एक निश्चित कार्य होता है, जब भी कोई अद्वितीय ऑब्जेक्ट (फ़ंक्शन का मान कहा जाता है) निर्दिष्ट करता है। मानव के डोमेन में, उदाहरण के लिए, "की माँ -" एक एक प्रकार का कार्य (एक तर्क का एक कार्य) है, क्योंकि प्रत्येक मनुष्य के लिए एक अनूठा व्यक्ति है जो उसकी माँ है; और प्राकृतिक संख्याओं के डोमेन में (जैसे, 0, 1, 2,

।), "- और - का योग" दो तर्कों का एक कार्य है, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या की जोड़ी के लिए एक प्राकृतिक संख्या है जो उनकी राशि है। एक फ़ंक्शन प्रतीक को अन्य नामों (इसके तर्कों) से एक नाम बनाने के रूप में सोचा जा सकता है; इस प्रकार, जब भी x और y नाम संख्याएँ, "x और y का योग" भी एक संख्या का नाम देता है, और इसी तरह अन्य प्रकार के कार्यों और तर्कों के लिए।

एलपीसी में व्यक्त किए जाने वाले कार्यों को सक्षम करने के लिए जोड़ा जा सकता है:

• एक या अधिक कार्य चर (कहते हैं, च, छ, ।) या एक या अधिक कार्य स्थिरांक (कहते हैं, F, G, ।) या दोनों, कुछ निर्दिष्ट डिग्री में से प्रत्येक। पूर्व में निर्दिष्ट डिग्री के कार्यों से अधिक के रूप में व्याख्या की जाती है और बाद में उस डिग्री के विशिष्ट कार्यों को नामित किया जाता है।

जब कोई या सभी-सी को LPC में जोड़ा जाता है, तो निचली विधेय गणना के ऊपर अनुभाग के पहले पैराग्राफ में सूचीबद्ध गठन नियम (निचली विधेय गणना के ऊपर देखें) को नए प्रतीकों को शामिल करने में सक्षम करने के लिए संशोधित करने की आवश्यकता है wffs। इसे निम्नानुसार किया जा सकता है: एक शब्द को पहले या तो (1) एक व्यक्तिगत चर या (2) एक व्यक्तिगत स्थिरांक या (3) के रूप में परिभाषित किया गया है, जो किसी भी n पद के लिए फ़ंक्शन n या डिग्री के फंक्शन स्थिरांक को जोड़कर बनाई गई कोई अभिव्यक्ति है। ये शब्द - फ़ंक्शन प्रतीक के तर्क - आमतौर पर अल्पविराम से अलग होते हैं और कोष्ठकों में संलग्न होते हैं)। गठन नियम 1 को इसके बाद बदल दिया जाता है:

• 1 of। एक विधेय चर से युक्त या n पद के बाद डिग्री n के पूर्ववर्ती स्थिरांक के साथ एक अभिव्यक्ति एक wff है।

LPC के अक्षीयकरण पर अनुभाग में दिए गए स्वयंसिद्ध आधार (LPC के Axiomatization के ऊपर देखें) को भी निम्नलिखित संशोधन की आवश्यकता होती है: axiom स्कीमा 2 में किसी भी शब्द को formed के बनने के बाद बदलने की अनुमति दी जाती है, बशर्ते कि कोई भी चर जो मुक्त न हो शब्द becomes में बाध्य हो जाता है। निम्नलिखित उदाहरण एलपीसी को पूर्वोक्त परिवर्धन के उपयोग को स्पष्ट करेंगे: व्यक्तिगत चर के मानों को प्राकृतिक संख्या होने दें; क्रमशः 2 और 3 संख्याओं के लिए अलग-अलग स्थिरांक और बी खड़े होने दें; A का अर्थ "प्रधान है"; और F को डियाडिक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं "का योग"। तब AF (a, b) प्रस्ताव को व्यक्त करता है "2 और 3 का योग अभाज्य है" और (xx) AF (x, a) प्रस्ताव को व्यक्त करता है "एक संख्या मौजूद है जैसे कि उसका और 2 का योग अभाज्य है। ।"

स्थिरांक का परिचय आम तौर पर विशेष स्थिरांक के स्वयंसिद्ध आधार के अतिरिक्त होता है, जिसमें उन स्थिरांक होते हैं, जो उन सिद्धांतों, गुणों, संबंधों, या उनके द्वारा प्रस्तुत किए गए कार्यों को व्यक्त करने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं - हालांकि वे वस्तुओं, गुणों को धारण नहीं करते हैं। सामान्य तौर पर संबंध, या कार्य। यह तय किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, "ए से अधिक है" (ताकि एक्स का मतलब वाई से अधिक है "और इसके आगे" का अर्थ है) से संबंधित है। यह संबंध, कई अन्य लोगों के विपरीत, सकर्मक है; अर्थात, यदि एक वस्तु एक सेकंड से अधिक है और वह दूसरी बारी में एक तिहाई से अधिक है, तो पहला तीसरे से अधिक है। इसलिए, निम्नलिखित विशेष स्वयंसिद्ध स्कीमा को जोड़ा जा सकता है: यदि t ₁, t ₂, और t ₃ कोई भी शब्द हैं, तो (₁ t ₂ · At ₂ t ₃) t At ₁ t ₃ एक स्वयंसिद्ध है। इस तरह के माध्यम से विभिन्न विशिष्ट विषयों की तार्किक संरचनाओं को व्यक्त करने के लिए प्रणालियों का निर्माण किया जा सकता है। जिस क्षेत्र में इस तरह का सबसे अधिक काम किया गया है, वह प्राकृतिक-संख्या अंकगणित है।

पीसी और LPC को कभी-कभी एकल प्रणाली में संयोजित किया जाता है। यह एलपीसी आदिम की सूची में प्रस्तावक चर को जोड़कर सबसे अधिक किया जा सकता है, एक गठन नियम को इस आशय के साथ जोड़कर कि एक प्रस्तावक चर अकेले खड़ा है एक wff है, और axiom स्कीमा में "LPC" को हटाना 1. ऐसे भावों के रूप में पैदावार as (p (q) ⊃ (px) (x और ()x) [p ⊃ (ϕy) ∀xy]।

• 3.LPC-साथ-पहचान। शब्द "है" हमेशा एक ही तरह से उपयोग नहीं किया जाता है। एक प्रस्ताव में जैसे कि (1) "सुकरात स्नब-नोज़्ड है", "पूर्व" अभिव्यक्ति एक व्यक्ति का नाम है और यह अभिव्यक्ति उस व्यक्ति के लिए जिम्मेदार संपत्ति के लिए है। लेकिन, एक प्रस्ताव में जैसे (2) "सुकरात एथेनियन दार्शनिक है, जिसने हेमलॉक पिया है," "नाम" दोनों व्यक्तियों के पूर्ववर्ती और निम्नलिखित भाव हैं, और पूरे प्रस्ताव की भावना यह है कि पहले नाम वाला व्यक्ति है दूसरे द्वारा नामित व्यक्ति के रूप में एक ही व्यक्ति। इस प्रकार, 2 में "है" का विस्तार किया जा सकता है "के रूप में एक ही व्यक्ति है," जबकि 1 में यह नहीं कर सकते। जैसा कि 2 में इस्तेमाल किया गया है, "है" का अर्थ है - एक व्यक्ति संबंधी संबंध - अर्थात् पहचान - कि प्रस्ताव दो व्यक्तियों के बीच धारण करने का दावा करता है। एक पहचान प्रस्ताव को इस संदर्भ में समझा जाना चाहिए कि इससे अधिक नहीं; विशेष रूप से यह मानने के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए कि दो नामकरण अभिव्यक्तियों का एक ही अर्थ है। इस अंतिम बिंदु को स्पष्ट करने के लिए एक बहु-चर्चित उदाहरण है "सुबह का तारा शाम का तारा है।" यह गलत है कि भाव "सुबह का तारा" और "शाम का तारा" का अर्थ समान है, लेकिन यह सच है कि पूर्व द्वारा संदर्भित वस्तु वही है जो उत्तरार्द्ध (ग्रह शुक्र) द्वारा संदर्भित है।

पहचान प्रस्तावों के रूपों को व्यक्त करने में सक्षम करने के लिए, एक डायडिक विधेय स्थिरांक LPC में जोड़ा जाता है, जिसके लिए सबसे सामान्य संकेतन = (पहले के बजाय, इसके तर्कों के बीच लिखा गया है) है। X = y का अभिप्राय यह है कि x, y के समान व्यक्ति है और सबसे सुविधाजनक पठन "x, y के समान है।" इसका निषेध ated (x = y) आमतौर पर x ∼ y के रूप में संक्षिप्त है। पहले दिए गए LPC मॉडल की परिभाषा के लिए (LPC में वैधता से ऊपर देखें) अब नियम जोड़ा गया है (जो कि स्पष्ट व्याख्या के साथ स्पष्ट तरीके से उच्चारण करता है) कि x = y का मान 1 होना चाहिए यदि एक ही सदस्य D को x और y दोनों को सौंपा गया है और अन्यथा इसका मान 0 होना है; वैधता को पहले की तरह परिभाषित किया जा सकता है। निम्नलिखित जोड़ (या कुछ समतुल्य) LPC के स्वयंसिद्ध आधार के लिए बने हैं: स्वयंसिद्ध x = x और स्वयंसिद्ध स्कीमा, जहाँ a और b कोई भी अलग-अलग चर और α और β हैं, जो केवल उसी में भिन्न होते हैं एक या एक से अधिक स्थानों पर α की एक स्वतंत्र घटना होती है, a में बी की एक स्वतंत्र घटना होती है, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) एक स्वयंसिद्ध है। इस तरह की प्रणाली को कम-विधेय-पथरी-पहचान के साथ जाना जाता है; यह निश्चित रूप से "एलपीसी के विस्तार" में ऊपर वर्णित अन्य तरीकों से बढ़ाया जा सकता है, जिस स्थिति में कोई भी शब्द = का तर्क हो सकता है।

पहचान एक तुल्यता संबंध है; अर्थात, यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमणीय है। इसकी प्रतिवर्तता सीधे स्वयंसिद्ध x = x में व्यक्त की जाती है, और इसकी समरूपता और परिवर्तनशीलता को व्यक्त करने वाले प्रमेयों को आसानी से दिए गए आधार से प्राप्त किया जा सकता है।

एलपीसी की कुछ पहचानों के साथ कुछ चीजें जो किसी दी गई संपत्ति के पास हैं, के बारे में प्रस्ताव व्यक्त करती हैं। "कम से कम एक चीज ϕ" है, ज़ाहिर है, पहले से ही (ϕx);x द्वारा व्यक्त किया जा सकता है; "कम से कम दो विशिष्ट (गैर-भौतिक) चीजें can हैं" अब ()x) (ϕy) (∃x · ϕy · x) y) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है; और अनुक्रम स्पष्ट तरीके से जारी रखा जा सकता है। "सबसे अधिक एक चीज पर is" है (यानी, "कोई दो अलग-अलग चीजें दोनों) नहीं हैं") अंतिम-उल्लेखित wff के निषेध या इसके समकक्ष, ()x) ()y) [(·x) द्वारा व्यक्त की जा सकती हैं ϕy) = x = y], और अनुक्रम फिर से आसानी से जारी रखा जा सकता है। "बिल्कुल एक बात है 'के लिए एक सूत्र" कम से कम एक चीज़ At "और" ज़्यादातर एक चीज़ है "के लिए सूत्रों को मिलाकर प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन इस संयोजन के बराबर एक साधारण wff है (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy = x = y)], जिसका अर्थ है "ऐसा कुछ है जो that है, और जो कुछ भी है वह। है।" प्रस्ताव "वास्तव में दो चीजें हैं osition" ((x) (∃y) {ϕx · ϕy · x · y · (∀z) [⊃z ⊃ (z = x ∨ z = y)]} द्वारा दर्शाया जा सकता है; यानी, "दो गैर-वस्तुएं हैं जिनमें से प्रत्येक and है, और जो कुछ भी है वह There एक या इनमें से एक है।" स्पष्ट रूप से, इस क्रम को प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए "बिल्कुल n चीजें this" के लिए एक सूत्र देने के लिए भी बढ़ाया जा सकता है। "सही एक बात to" (∃! X) ϕx के लिए wff संक्षिप्त करना सुविधाजनक है। इस विशेष मात्रा को अक्सर "ई-श्रीक एक्स" के रूप में जोर से पढ़ा जाता है।

निश्चित विवरण

जब एक निश्चित संपत्ति to एक और केवल एक वस्तु से संबंधित होती है, तो उस वस्तु को नाम देने वाली अभिव्यक्ति होना सुविधाजनक होता है। इस उद्देश्य के लिए एक सामान्य संकेतन (ιx) whichx है, जिसे "उस चीज के रूप में पढ़ा जा सकता है" जो ly है या अधिक संक्षेप में "this" है। सामान्य तौर पर, जहाँ कोई भी वैयक्तिक चर है और α किसी भी wff है, (ιa) α तब एक एकल मान के लिए खड़ा होता है जो α को सत्य बनाता है। "ए-द-सो" फ़ॉर्म की अभिव्यक्ति को एक निश्चित विवरण कहा जाता है; और (ιx), जिसे एक विवरण ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, के बारे में सोचा जा सकता है कि वह एक प्रस्ताव फॉर्म से अलग किसी व्यक्ति का नाम बना सकता है। (ιx) उस में एक मात्रा के अनुरूप है, जब एक α के लिए उपसर्ग किया जाता है, तो यह α में x की हर मुक्त घटना को बांधता है। बाध्य चर का पुनर्मूल्यांकन भी अनुमेय है; सबसे सरल मामले में, (ιx) (x और (ιy) esty को प्रत्येक "बस as" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

जहां तक ​​गठन के नियमों का संबंध है, निश्चित विवरणों को एलपीसी में शामिल किया जा सकता है ताकि वे प्रपत्र (ιa) α की शर्तों के रूप में बता सकें; नियम 1, ऊपर, "LPC के एक्सटेंशन" में, फिर उन्हें परमाणु सूत्रों (पहचान सूत्रों सहित) में होने की अनुमति देगा। "Ψ है (यानी, संपत्ति है) can" तो (ιx);x के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; “Y is (as वैसा ही व्यक्ति) is” as y = (ιx);x; "Ψ है (के रूप में एक ही व्यक्ति) as" के रूप में (ιx) =x = (ιy) (y; इत्यादि।

निश्चित विवरण वाले प्रस्तावों का सही विश्लेषण काफी दार्शनिक विवाद का विषय रहा है। एक व्यापक रूप से स्वीकार किए गए खाते, हालांकि- काफी हद तक प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में प्रस्तुत किया गया और जिसे रसेल के विवरण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है - का मानना ​​है कि "that ψ" का अर्थ यह समझा जाना है कि वास्तव में एक चीज ϕ है और वह चीज भी ψ है। उस स्थिति में यह LPC के साथ पहचान के एक दोष के द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जिसमें कोई विवरण ऑपरेटर नहीं हैं - अर्थात् (1) ()x) [ϕx · (∀y) (ϕy = x = y) · x]। इसके अनुरूप, "y is is" का विश्लेषण "y nothing is के रूप में किया जाता है और कुछ और नहीं ϕ" और इसलिए (2) (y · ()x) (ϕx = x = y) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। "As“ है ψ "का विश्लेषण" सटीक रूप से एक चीज exactly के रूप में किया जाता है, ठीक एक चीज is है, और जो कुछ भी the है "और इसलिए (3) ()x) [·x) (∀y) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ϕy ϕ x = y)] · ([x) [(x · (∀y) (⊃y) x = y)] · ()x) (ϕx ⊃ ψx)।) (ιx),x, y = (ιx) (x और (ιx) x = (ιy) ψy तब क्रमशः (१), (२), और (३) के लिए संक्षिप्त रूप में माना जा सकता है; और अधिक जटिल मामलों को सामान्य करके, सभी wffs जिनमें वर्णन ऑपरेटर होते हैं, को लंबे समय तक wff के लिए संक्षिप्त रूप में माना जा सकता है जो ऐसा नहीं करते हैं।

"The analysis leads" के सूत्र के रूप में (1) की ओर ले जाने वाला विश्लेषण "The ψ is ϕ" नहीं है: (4) ()x) [(x · (∀y) (⊃y ⊃ x =) y) ·)x]। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि (4) (1) का निषेध नहीं है; यह नकार, (5) ation ()x) [(x · (∀y) (⊃y ϕ x = y) ·]x] है। (४) और (५) के बीच का अंतर इस तथ्य में निहित है कि (४) केवल तभी सत्य है जब कोई एक वस्तु thing है और वह चीज ψ नहीं है, लेकिन (५) इस मामले में दोनों सत्य है और यह भी कि कुछ भी when बिल्कुल नहीं है और जब एक से अधिक चीजें ϕ हैं। (4) और (5) के बीच के अंतर की उपेक्षा से विचार का गंभीर भ्रम हो सकता है; साधारण भाषण में यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि कोई ऐसा व्यक्ति जो इनकार करता है कि frequently frequently है, यह मान रहा है कि वास्तव में एक चीज that है, लेकिन इससे इनकार करते हुए कि यह ψ है, या इससे इनकार करता है कि वास्तव में एक चीज ϕ है।

रसेल के विवरणों के सिद्धांत का मूल तर्क यह है कि एक निश्चित विवरण वाले प्रस्ताव को उस वस्तु के बारे में एक अनुमान के रूप में नहीं माना जाता है, जो उस विवरण का एक नाम है, बल्कि एक अस्तित्वगत रूप से निर्धारित दावे के अनुसार है कि एक निश्चित (बल्कि जटिल) संपत्ति है एक उदाहरण। औपचारिक रूप से, यह ऊपर वर्णित उल्लिखित ऑपरेटरों को समाप्त करने के नियमों में परिलक्षित होता है।