अंतर समीकरण, गणितीय कथन जिसमें एक या एक से अधिक डेरिवेटिव हैं- यानी, अलग-अलग मात्राओं के परिवर्तन की दरों का प्रतिनिधित्व करने वाले शब्द। विज्ञान और इंजीनियरिंग के साथ-साथ मात्रात्मक अध्ययन के कई अन्य क्षेत्रों में विभेदक समीकरण बहुत आम हैं, क्योंकि परिवर्तनों के दौर से गुजरने वाली प्रणालियों के लिए सीधे क्या देखा जा सकता है और मापा जा सकता है। एक विभेदक समीकरण का हल, सामान्य रूप से, एक समीकरण है जो एक या अधिक अन्य पर एक चर की कार्यात्मक निर्भरता को व्यक्त करता है; इसमें मूल रूप से निरंतर अंतर शामिल हैं जो मूल अंतर समीकरण में मौजूद नहीं हैं। यह कहने का एक और तरीका यह है कि एक विभेदक समीकरण का हल एक फ़ंक्शन का निर्माण करता है जिसका उपयोग मूल प्रणाली के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है, कम से कम कुछ बाधाओं के भीतर।
विश्लेषण: न्यूटन और विभेदक समीकरण
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विश्लेषण के अनुप्रयोग अंतर समीकरण हैं, जो विभिन्न मात्राओं के परिवर्तन की दरों को उनके वर्तमान मूल्यों से संबंधित करते हैं, ।
विभेदक समीकरणों को कई व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है, और ये आगे कई उपश्रेणियों में विभाजित हैं। सबसे महत्वपूर्ण श्रेणियां साधारण अंतर समीकरण और आंशिक अंतर समीकरण हैं। जब समीकरण में शामिल फ़ंक्शन केवल एक चर पर निर्भर करता है, तो इसका व्युत्पन्न साधारण व्युत्पन्न होता है और अंतर समीकरण को एक साधारण अंतर समीकरण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। दूसरी ओर, यदि फ़ंक्शन कई स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है, ताकि इसका डेरिवेटिव आंशिक व्युत्पन्न हो, तो अंतर समीकरण को आंशिक अंतर समीकरण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। निम्नलिखित सामान्य अंतर समीकरणों के उदाहरण हैं:
इनमें, y फ़ंक्शन के लिए खड़ा है, और या तो t या x स्वतंत्र चर है। विशिष्ट स्थिरांक के लिए खड़े होने के लिए प्रतीकों k और m का उपयोग यहां किया जाता है।
जो भी प्रकार हो सकता है, एक विभेदक समीकरण को nth क्रम का कहा जाता है यदि इसमें nth क्रम का व्युत्पन्न शामिल है, लेकिन इससे अधिक क्रम का व्युत्पन्न नहीं है। समीकरण दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण का एक उदाहरण है। साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत स्पष्ट रूप से भिन्न हैं, और इस कारण से दो श्रेणियों को अलग-अलग माना जाता है।
एकल अंतर समीकरण के बजाय, अध्ययन का उद्देश्य इस तरह के समीकरणों की एक साथ प्रणाली हो सकता है। गतिकी के नियमों का निरूपण अक्सर ऐसी प्रणालियों की ओर जाता है। कई मामलों में, nth ऑर्डर का एक एकल अंतर समीकरण n युगपत समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा लाभप्रद रूप से बदली जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक पहले क्रम का है, ताकि रैखिक बीजगणित से तकनीकों को लागू किया जा सके।
एक साधारण अंतर समीकरण, जिसमें, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर को y और x द्वारा निरूपित किया जाता है, वास्तव में x के फ़ंक्शन के रूप में y की आवश्यक विशेषताओं का एक अंतर्निहित सारांश है। ये विशेषताएँ निश्चित रूप से विश्लेषण के लिए अधिक सुलभ होंगी यदि y के लिए एक स्पष्ट सूत्र तैयार किया जा सकता है। इस तरह के एक फार्मूला, या कम से कम x और y में एक समीकरण (कोई व्युत्पन्न शामिल नहीं) जो अंतर समीकरण से घटाया जाता है, को अंतर समीकरण का एक समाधान कहा जाता है। बीजगणित और कैलकुलस के अनुप्रयोगों द्वारा समीकरण से एक समाधान निकालने की प्रक्रिया को समीकरण को हल करना या एकीकृत करना कहा जाता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतर समीकरणों को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है लेकिन एक छोटा सा अल्पसंख्यक। इस प्रकार, अधिकांश कार्यों का अप्रत्यक्ष तरीकों से अध्ययन किया जाना चाहिए। यहां तक कि इसके अस्तित्व को साबित किया जाना चाहिए जब निरीक्षण के लिए इसका उत्पादन करने की कोई संभावना नहीं है। व्यवहार में, संख्यात्मक विश्लेषण से तरीकों, कंप्यूटरों को शामिल करने, उपयोगी अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए नियोजित किया जाता है।
