कॉनिक सेक्शन, जिसे कॉनिक भी कहा जाता है, ज्योमेट्री में, किसी प्लेन के चौराहे से उत्पन्न होने वाला कोई वक्र और दायाँ गोलाकार शंकु। शंकु के सापेक्ष विमान के कोण के आधार पर, चौराहा एक चक्र, एक दीर्घवृत्त, एक हाइपरबोला, या एक पेराबोला है। चौराहे के विशेष (पतित) मामले तब होते हैं जब विमान केवल शीर्ष (एक बिंदु का निर्माण) या शीर्ष के माध्यम से गुजरता है और शंकु पर एक और बिंदु होता है (एक सीधी रेखा या दो सीधी रेखाओं का निर्माण)। आंकड़ा देखें।
प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री: प्रोजेक्टिव कॉनिक सेक्शन
शंकुधारी सेक्शन को एक सही गोलाकार शंकु के विमान खंड के रूप में माना जा सकता है (चित्र देखें)। के संबंध में
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मूल विवरण, लेकिन नाम नहीं, शंकु वर्गों से मेनेक्युमस (उत्कर्ष सी। 350 ई.पू.) का पता लगाया जा सकता है, प्लेटो और क्यूनिडस के यूडोक्सस दोनों के शिष्य। Apollonius के पिरगा (सी। 262-190 ईसा पूर्व), के रूप में जाना "महान ज्यामितिशास्त्रीय," शांकव वर्गों उनके नाम दे दिया और पहले अतिशयोक्ति (जो डबल शंकु अनुमान करना) की दो शाखाएं परिभाषित करने के लिए किया गया था। कोनिक वर्गों पर अपोलोनियस का आठ-खंड ग्रंथ, कॉनिक्स, प्राचीन दुनिया के सबसे महान वैज्ञानिक कार्यों में से एक है।
विश्लेषणात्मक परिभाषा
शंकुओं को प्लेन कर्व्स के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जो एक बिंदु के पथ (लोकी) हैं, ताकि एक निश्चित बिंदु (फ़ोकस) से एक निश्चित रेखा (डाइरेक्स) से इसकी दूरी का अनुपात एक स्थिर, कहलाता है वक्र की सनक। यदि सनकी शून्य है, तो वक्र एक चक्र है; अगर एक के बराबर है, एक parabola; यदि एक से कम है, तो एक दीर्घवृत्त; और अगर एक से अधिक है, तो एक हाइपरबोला। आंकड़ा देखें।
प्रत्येक शंकु खंड, एक्स 2 + के 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, जहां x और y चर और A, B, C, D, E, और 2 के रूप में दूसरी डिग्री बहुपद समीकरण के ग्राफ से मेल खाता है। एफ गुणांक हैं जो विशेष शंकु पर निर्भर करते हैं। समन्वित कुल्हाड़ियों की एक उपयुक्त पसंद से, किसी भी शंकु के लिए समीकरण को तीन सरल आर रूपों में से एक में घटाया जा सकता है: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, या y 2 = 2px, क्रमशः एक दीर्घवृत्ताकार, एक हाइपरबोला और एक पेराबोला के अनुरूप। (एक दीर्घवृत्त जहाँ a = b वास्तव में एक वृत्त है।) ज्यामितीय वक्रों के बीजीय विश्लेषण के लिए समन्वित प्रणालियों का व्यापक उपयोग रेने डेसकार्टेस (1596-1650) के साथ हुआ। ज्यामिति का इतिहास देखें: कार्टेशियन ज्यामिति।
ग्रीक मूल
शंकु वर्गों का प्रारंभिक इतिहास "घन को दोगुना करने" की समस्या में शामिल हो गया है। साइरेन (सी। 276–190 ई.पू.) के एराटोस्थनीज़ के अनुसार, डेलोस के लोगों ने एक प्लेग (सी। 430 बीसी) को समाप्त करने में सहायता के लिए अपोलो के दैवज्ञ से सलाह ली और उन्हें पुरानी वेदी की मात्रा के दोगुने वेलेरो की नई वेदी बनाने के निर्देश दिए गए। और एक ही घन आकार के साथ। हैरान, डेलियंस ने प्लेटो से सलाह ली, जिन्होंने कहा कि "दैवज्ञ का मतलब यह था कि देवता आकार को दोगुना करना चाहते थे, लेकिन यह कि वे काम की स्थापना में, यूनानियों को गणित की उपेक्षा और उनकी अवमानना के लिए शर्मिंदा करना चाहते थे। ज्यामिति के लिए। ” Chios के हिप्पोक्रेट्स (सी। 470-410 ई.पू.) ने पहली बार यह पाया कि "डेलियन समस्या" को a और 2a (संबंधित वेदियों की मात्रा) के बीच दो माध्य आनुपातिक को ज्ञात करने के लिए कम किया जा सकता है- यह x और y का निर्धारण करना है जैसे कि a: x = x: y = y: 2a। यह एक साथ सुलझाने समीकरणों के किसी भी दो x के बराबर है 2 = ay, वाई 2 = 2AX, और xy = 2 ए 2, दो परवलय और एक अतिपरवलय क्रमशः जो अनुरूप हैं। बाद में, आर्किमिडीज़ (सी। 290-211 ई.पू.) ने दिखाया कि शंकु वर्गों को एक खंड में दिए गए अनुपात में दो भागों में विभाजित करने के लिए कैसे उपयोग किया जाए।
डायोक्लेस (सी। 200 बीसी) ने ज्यामितीय रूप से यह प्रदर्शित किया कि किरणें - उदाहरण के लिए, सूर्य से- जो क्रांति के एक परवलय के अक्ष के समानांतर होती हैं (जो समरूपता के अपने अक्ष के बारे में परवलय को घुमाकर उत्पन्न होती हैं) फोकस पर मिलती हैं। कहा जाता है कि आर्किमिडीज ने इस संपत्ति का इस्तेमाल दुश्मन के जहाजों को आग लगाने के लिए किया था। दीर्घवृत्त के फोकल गुणों का उल्लेख ट्रेंट के एंथमियस द्वारा किया गया था, जो कॉन्स्टेंटिनोपल में हागिया सोफिया कैथेड्रल के लिए आर्किटेक्ट में से एक है (विज्ञापन 537 में पूरा), यह सुनिश्चित करने के साधन के रूप में कि एक वेदी को पूरे दिन सूरज की रोशनी से रोशन किया जा सकता है।
