क्रमपरिवर्तन और संयोजन गणित

क्रमपरिवर्तन और संयोजन, विभिन्न तरीके जिसमें एक सेट से वस्तुओं का चयन किया जा सकता है, आम तौर पर प्रतिस्थापन के बिना, सबसेट बनाने के लिए। सबसेट के इस चयन को क्रमपरिवर्तन कहा जाता है जब चयन का आदेश एक कारक होता है, तो एक संयोजन जब आदेश एक कारक नहीं होता है। 17 वीं शताब्दी में मौका के कई खेलों के लिए सभी संभव सबसेट की संख्या के लिए वांछित सबसेट की संख्या के अनुपात पर विचार करके, फ्रांसीसी गणितज्ञों ब्लेसे पास्कल और पियरे डी फरमेट ने कंघी बनाने वाले और संभाव्यता सिद्धांत के विकास को प्रोत्साहन दिया।

कॉम्बिनेटरिक्स: द्विपद गुणांक

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n ऑब्जेक्ट्स को एक बार में ली गई n चीजों का क्रमचय कहा जाता है। क्रमपरिवर्तन की संख्या है

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क्रमपरिवर्तन और संयोजनों के बीच अंतर और अंतर को सभी अलग-अलग तरीकों से जांचा जा सकता है जिसमें वस्तुओं की एक जोड़ी को पांच अलग-अलग वस्तुओं से चुना जा सकता है - जैसे अक्षर A, B, C, D, और E. यदि दोनों चयनित पत्रों और चयन के क्रम पर विचार किया जाता है, फिर निम्नलिखित 20 परिणाम संभव हैं:

इन 20 अलग-अलग संभावित चयनों में से प्रत्येक को क्रमपरिवर्तन कहा जाता है। विशेष रूप से, उन्हें एक समय में दो ली गई पांच वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन कहा जाता है, और इस तरह के क्रमपरिवर्तन की संख्या को प्रतीक ₅ पी ₂ द्वारा दर्शाया जाता है, "5 परमिट 2" पढ़ें। सामान्य तौर पर, यदि n ऑब्जेक्ट उपलब्ध हैं, जिसमें से चयन करने के लिए, और क्रमपरिवर्तन (P) को एक समय में ऑब्जेक्ट्स के k का उपयोग करके बनाया जाना है, तो संभव है कि विभिन्न nututations की संख्या को प्रतीक _n P _k द्वारा दर्शाया जाए । इसके मूल्यांकन का एक सूत्र है _n P _k = n! / (N - k)! अभिव्यक्ति n! - "n factorial" - यह बताता है कि 1 से लेकर और n सहित सभी निरंतर धनात्मक पूर्णांक को एक साथ गुणा करना है। और 0! को समान रूप से परिभाषित किया गया है। 1. उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करते हुए, एक बार में दो वस्तुओं के क्रमांकन की संख्या दो ली गई है

(K = n, _n P _k = n के लिए! इस प्रकार, 5 वस्तुओं के लिए 5! = 120 व्यवस्थाएँ हैं।)

संयोजनों के लिए, k ऑब्जेक्ट्स को ऑर्डर किए बिना सबसेट बनाने के लिए n ऑब्जेक्ट्स के एक सेट से चुना जाता है। संबंधित संयोजन के साथ पिछले क्रमचय उदाहरण के विपरीत, एबी और बीए उपसमुच्चय अब अलग चयन नहीं हैं; इस तरह के मामलों को खत्म करने से केवल 10 अलग-अलग संभावित उपसमुच्चय रह जाते हैं- एबी, एसी, एडी, एई, बीसी, बीडी, बीई, सीडी, सीई और डी।

इस तरह के सबसेट की संख्या को _n C _k द्वारा दर्शाया गया है, पढ़ें "n choose k।" संयोजन के लिए, चूंकि k में k है! व्यवस्था, वहाँ कश्मीर हैं! कश्मीर वस्तुओं की प्रत्येक पसंद के लिए अविवेकी क्रमपरिवर्तन; इसलिए k द्वारा क्रमचय सूत्र को विभाजित करना! निम्न संयोजन सूत्र देता है:

यह (n, k) द्विपद गुणांक (द्विपद प्रमेय देखें) के समान है। उदाहरण के लिए, एक समय में दो वस्तुओं के संयोजन की संख्या दो है

के लिए फार्मूले _एन पी _{कश्मीर} और _एन सी _{कश्मीर} गिनती सूत्रों कहा जाता है क्योंकि वे उन सब को सूचीबद्ध करने के लिए बिना संभव क्रमपरिवर्तन या किसी परिस्थिति में संयोजनों की संख्या गिनती करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता।