कॉन्टिनम की परिकल्पना, सेट सिद्धांत का कथन कि वास्तविक संख्याओं (सातत्य) का सेट एक अर्थ में छोटा है जितना कि यह हो सकता है। 1873 में जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर ने यह साबित कर दिया कि सातत्य बेशुमार है - यानी, गिनती संख्या की तुलना में वास्तविक संख्या एक बड़ी अनंत है- एक गणितीय विषय के रूप में सेट सिद्धांत को शुरू करने में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। इसके अलावा, कैंटर ने अपने तत्वों की संख्या, या इसकी कार्डिनैलिटी के अनुसार अनंत सेटों के आकार को वर्गीकृत करने का एक तरीका विकसित किया। (सेट सिद्धांत देखें: कार्डिनैलिटी और ट्रांसफ़ेक्ट संख्या।) इन शब्दों में, निरंतरता परिकल्पना निम्नानुसार बताई जा सकती है: सातत्य की कार्डिनैलिटी सबसे छोटी बेशुमार कार्डिनल संख्या है।
सेट सिद्धांत: कार्डिनैलिटी और ट्रांसफ़ेक्ट संख्या
।
एक अनुमान जिसे सातत्य परिकल्पना के रूप में जाना जाता है।
कैंटर अंकन में, सातत्य परिकल्पना सरल समीकरण 2 द्वारा कहा जा सकता है ℵ 0 = ℵ 1, जहां ℵ 0 कार्डिनल (जैसे प्राकृतिक संख्याओं के समूह के रूप में) एक अनंत गणनीय सेट की संख्या है, और बड़े की गणन संख्या " सुव्यवस्थित सेट ”, 1,, 2 हैं, ।, Α α, ।
क्रमिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित। सातत्य की कार्डिनैलिटी को 2 ity 0 के बराबर दिखाया जा सकता है; इस प्रकार, निरंतरता परिकल्पना प्राकृतिक संख्याओं और सातत्य के बीच के आकार के मध्यवर्ती के अस्तित्व के बारे में बताती है।
2: एक मजबूत बयान सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना (GCH) है ℵ अल्फा = ℵ अल्फा + 1 प्रत्येक क्रमसूचक संख्या अल्फा के लिए। पोलिश गणितज्ञ वेक्लाव सीरपीस्की ने यह साबित कर दिया कि जीसीएच के साथ व्यक्ति अपनी पसंद के स्वयंसिद्ध शब्द को प्राप्त कर सकता है।
पसंद के स्वयंसिद्ध के रूप में, ऑस्ट्रिया में जन्मे अमेरिकी गणितज्ञ कर्ट गोडेल ने 1939 में साबित कर दिया कि, अगर अन्य मानक जर्मेलो-फ्रेंकेल एक्सियल (जेडएफ) देखें;
तालिका) सुसंगत हैं, फिर वे निरंतरता की परिकल्पना या जीसीएच को बाधित नहीं करते हैं। यही है, अन्य स्वयंसिद्धों में GCH को जोड़ने का परिणाम सुसंगत रहता है। फिर 1963 में अमेरिकी गणितज्ञ पॉल कोहेन ने ZF के अनुरूप होने की धारणा के तहत चित्र को फिर से दिखाते हुए पूरा किया, कि ZF निरंतरता परिकल्पना का प्रमाण नहीं देता है।
चूंकि जेडएफ न तो निरंतरता की परिकल्पना को साबित करता है और न ही उसे अस्वीकार करता है, इस बात का सवाल बना हुआ है कि क्या सेट हैं की एक अनौपचारिक अवधारणा के आधार पर सातत्य परिकल्पना को स्वीकार करना है या नहीं। गणितीय समुदाय में सामान्य उत्तर नकारात्मक रहा है: निरंतरता परिकल्पना एक संदर्भ में एक सीमित बयान है जहां एक सीमा लगाने का कोई ज्ञात कारण नहीं है। सेट सिद्धांत रूप में, बिजली सेट प्रमुखता ℵ के प्रत्येक सेट के संचालन प्रदान करती है अल्फा सब सबसेट के अपने सेट है, जो प्रमुखता 2 है ℵ अल्फा । लगता है कि अनंत सेटों की विविधता पर एक सीमा लगाने का कोई कारण नहीं है।
