अंतरिक्ष समय पर अल्बर्ट आइंस्टीन

यूक्लिडियन ज्यामिति

यदि हम यूक्लिडियन ज्यामिति पर विचार करते हैं, तो हम स्पष्ट रूप से विचार करते हैं कि यह कठोर निकायों के पदों को विनियमित करने वाले कानूनों को संदर्भित करता है। यह शरीर और उनके सापेक्ष पदों से संबंधित सभी संबंधों को बहुत सरल अवधारणा "दूरी" (स्ट्रेक) के पीछे ले जाने के सरल विचार को ध्यान में रखता है। दूरी एक कठोर शरीर को दर्शाती है जिस पर दो भौतिक बिंदु (निशान) निर्दिष्ट किए गए हैं। दूरियों (और कोणों) की समानता की अवधारणा संयोगों से जुड़े प्रयोगों को संदर्भित करती है; समान टिप्पणी प्रमेय पर प्रमेय के लिए लागू होती है। अब, यूक्लिडियन ज्यामिति, जिस रूप में इसे यूक्लिड से हमें सौंप दिया गया है, मौलिक अवधारणाओं "सीधी रेखा" और "विमान" का उपयोग करता है जो कि, या सीधे किसी भी दर पर नहीं दिखाई देते हैं, अनुभवों के साथ सीधे नहीं। कठोर शरीरों की स्थिति के विषय में। इस पर यह टिप्पणी की जानी चाहिए कि सीधी रेखा की अवधारणा दूरी से कम हो सकती है।¹ इसके अलावा, ज्यामितीय लोग अपनी मौलिक अवधारणाओं के संबंध को तार्किक रूप से शुरू करने की तुलना में अनुभव कर रहे थे, जो कि शुरू से ही संकलित किए गए कुछ स्वयंसिद्धों से तार्किक रूप से ज्यामितीय प्रस्ताव प्रस्तुत करने की तुलना में थे।

आइए हम संक्षेप में बताएं कि यूक्लिडियन ज्यामिति का आधार दूरी की अवधारणा से कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

हम दूरियों की समानता (दूरियों की समानता का स्वयंसिद्ध) से शुरू करते हैं। मान लीजिए कि दो असमान दूरी एक हमेशा दूसरे से अधिक होती है। समान स्वयंसिद्ध संख्याओं की असमानता के लिए दूरियों की असमानता के लिए धारण करना है।

तीन दूरियाँ AB ¹, BC ¹, CA ¹ हो सकती हैं, यदि CA ¹ को उपयुक्त रूप से चुना जाता है, तो उनके निशान BB ¹, CC ¹, AA ¹ एक दूसरे पर इस तरह से रक्खे जाते हैं जैसे कि त्रिभुज ABC परिणाम देता है। दूरी ¹ सीए की एक ऊपरी सीमा है जिसके लिए यह निर्माण अभी भी संभव है। अंक A, (BB ') और C तब एक "सीधी रेखा" (परिभाषा) में स्थित हैं। यह अवधारणाओं की ओर जाता है: स्वयं के बराबर राशि द्वारा दूरी का उत्पादन करना; एक दूरी को समान भागों में विभाजित करना; एक मापक-छड़ के माध्यम से संख्या के संदर्भ में दूरी व्यक्त करना (दो बिंदुओं के बीच की जगह-अंतराल की परिभाषा)।

जब दो बिंदुओं या दूरी की लंबाई के बीच अंतराल की अवधारणा इस तरह से प्राप्त हुई है, तो हमें यूक्लिडियन ज्यामिति पर विश्लेषणात्मक रूप से आने के लिए केवल निम्नलिखित स्वयंसिद्ध (पाइथागोरस प्रमेय) की आवश्यकता होती है।

अंतरिक्ष के हर बिंदु (संदर्भ का निकाय) के लिए तीन संख्याओं (को-ऑर्डिनेट) x, y, z को असाइन किया जा सकता है - और इसके विपरीत - इस तरह से कि प्रत्येक जोड़े के लिए A (x ₁, y ₁, z ₁) और बी (एक्स ₂, वाई ₂, जेड ₂) प्रमेय रखती है:

माप-संख्या AB = sqroot {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }।

यूक्लिडियन ज्यामिति के सभी आगे की अवधारणाएं और प्रस्ताव इस आधार पर विशुद्ध रूप से तार्किक रूप से बनाए जा सकते हैं, विशेष रूप से सीधी रेखा और विमान के बारे में भी।

बेशक, ये टिप्पणी यूक्लिडियन ज्यामिति के सख्ती से स्वयंसिद्ध निर्माण को बदलने के लिए नहीं है। हम केवल यह इंगित करना चाहते हैं कि ज्यामिति की सभी अवधारणाओं का पता कैसे लगाया जा सकता है। हम ऊपर के अंतिम प्रमेय में यूक्लिडियन ज्यामिति के पूरे आधार को समान रूप से अच्छी तरह जान सकते हैं। अनुभव की नींव के संबंध को एक पूरक प्रमेय के माध्यम से सुसज्जित किया जाएगा।

को-ऑर्डिनेट चुना जा सकता है और होना चाहिए ताकि पाइथागोरस के प्रमेय की मदद से गणना किए गए अंकों के दो जोड़े को समान अंतराल से अलग किया जा सके, एक और एक समान रूप से चुनी गई दूरी (एक ठोस पर) के साथ मेल खाने के लिए बनाया जा सकता है।

यूक्लिडियन ज्यामिति की अवधारणाओं और प्रस्तावों को कठोर निकायों की शुरूआत के बिना पाइथागोरस के प्रस्ताव से प्राप्त किया जा सकता है; लेकिन इन अवधारणाओं और प्रस्तावों के बाद ऐसी सामग्री नहीं होगी जिसका परीक्षण किया जा सके। वे "सत्य" प्रस्ताव नहीं हैं, लेकिन केवल औपचारिक रूप से औपचारिक सामग्री के तार्किक रूप से सही प्रस्ताव हैं।